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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程,的标准形式,其中,a,b,是常数.,(1),(2),称为,二阶常系数,齐次,线性微分方程。,1,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分,二阶常系数,齐次,线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性,方程,1,、方程,(1)的任意两个解,的,和仍是(1)的解；,2,、方程,(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(,二阶常系数,齐次,线性方程解的性质,1,、方程,(2),的任意两个解,的,和仍是,(2),的解；,2,、方程,(2),的任意一个解的常数倍仍是,(2),的解；,也是,(2),的解.,(称,线性无关,),则上式为,(2),的,通解,.,定理1,(2),3,二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和,二、二阶常系数,齐次,线性方程的,解法,代数方程,(3),称为微分方程,(2),的,特征方程,它的根称为,特征根,(,或,特征值,).,(3),(2),4,二、二阶常系数齐次线性方程的解法 代数方程(3)称为微,故它们线性无关,因此,(2),的通解为,(3),情形1,5,故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形1 5,情形2,需要求另一个特解,6,情形2 需要求另一个特解6,情形3,可以证明,是,(2),的解，,且线性无关，,所以方程,(2),的通解为,7,情形3 可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,8,小结 特征根的情况通解的表达式 实根实根复根8,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,9,解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,10,解特征方程为故通解为例3特征根为10,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1,、,方程,(1),的任意一个解加上方程,(2),的任意一个解是,(1),的解；,2,、,方程,(1),的任意两个解之差是,(2),的解,.,定理2,那么方程(1)的通解为,11,对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1,问题归结为求方程,(1),的一个特解.,只讨论,f,(,x,),的两种类型.,用,待定系数法,求解.,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解的性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,12,问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论 f(x)的两,则,13,则13,情形1,若,r,不是特征根,即,情形2,若,r,是特征方程的单根,即,14,情形1 若 r 不是特征根,即情形2 若 r 是特征方程的,情形3,若,r,是特征方程的,二重,根,即,15,情形3 若 r 是特征方程的二重根,即15,综上讨论,设特解为,其中,16,综上讨论设特解为其中16,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,17,解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得 17,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,18,解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5得,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程,得,19,解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得19,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,20,解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,21,解例7对应齐次方程通解特征方程特征根21,此时原方程的通解为,22,此时原方程的通解为 22,可以证明,方程,(1),具有如下形式的特解:,23,可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:23,解,例8,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,24,解例8所求通解为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,解,例9,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,25,解例9所求通解为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,定理3(非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解,26,定理3(非齐次线性方程的叠加原理)和的特解,的一个特解,例10,解,代入得,27,例10解代入得27,解,代入得,原方程通解为,例10,28,解代入得原方程通解为例1028,解,例11,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(,B),也不对；,二阶非齐次线性微分方程,29,解例11是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B),30,30,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,31,解例12求导，原方程改写为再求导，31,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,32,对应齐次方程通解特征方程特征根代入得 32,初始条件:,33,初始条件:33,练习：,P394,习题九,34,练习：P394 习题九34,
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