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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,垂直于弦的直径（,1,）,24.1.2,圆的垂径定理,这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普通的石匠李春所建，距今已有,1400,多年的历史。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次地震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在,洨,河上。,这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减轻了桥身的重量，节省了石料。直到,19,世纪中叶，才在欧洲国家出现，比赵州桥晚,1200,多年。赵州桥表现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史遗产。,赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,圆的对称性,圆是轴对称图形,.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,O,O,A,B,C,D,E,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,可以发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,和,重合，,和,重合,AM=BM,AB,是,O,的一条弦,.,作直径,CD,使,CDAB,垂足为,M.,O,发现图中有,:,A,B,C,D,M,由 ,CD,是直径,CDAB,可推得,AC=BC,AD=BD.,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,.,探究垂径定理结论的得出方法,（,1,）利用折叠重合,（,2,）利用全等,（,3,）利用等腰三角形的 三线合一性质,O,A,M,B,C,D,探究垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,.,题设,结论,（,1,）直径,（,2,）垂直于弦,（,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧,（,5,）平分弦所对的劣弧,垂径定理,符号语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,探究垂径定理,O,A,B,C,D,M,CDAB,如图,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,(M,是,AB,的中点,),（,C,、,D,是弧的中点）,直径平分弦，并且,平分及,O,A,B,C,D,E,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,即,，,zxxkw,AM=BM,由 ,CD,是直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,CDAB,由 ,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,可推得,几何语言表达,垂径定理：,推论：,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的,(),平分弦的直线必垂直弦,(),垂直于弦的直径平分这条弦,(),平分弦的直径垂直于这条弦,(),弦的垂直平分线是圆的直径,(),平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,(),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,(),辨别是非,解决求赵州桥拱半径的问题,情境解决,例,2,、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为,27.9m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,解：,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt AOE,中,zxxkw,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为,.2 m,，过,O,作,OC,AB,于,D,，交圆弧于,C,，,CD=2.4m,，现有一艘宽,3m,，船舱顶部为方形并高出水面（,AB,）,2m,的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,垂 径 定 理的基本图形的变身,垂直,直径,半径,过圆心的直线,如图,O,直径,CD,与弦,AB,（非直径）交于点,M,，添加一个条件：,_,，就可得到点,M,是,AB,的中点,.,小试牛刀,慧眼识金,E,E,E,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧,例,1,：,一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径,OB=10,，水面宽,AB=16,。求截面圆心,O,到水面的距离。,D,C,10,8,8,想一想,:,排水管中水最深多少,?,解：连结,OA,OMAB,，,，,OM,4,，,AB,2AM,6(cm),变式,1,：如图所示，直径为,10cm,的 圆中，圆心到弦,AB,的距离,4cm,求弦,AB,的长,变式,2,、如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8,厘米，圆心,O,到,AB,的距离为,3,厘米，求,O,的半径。,.,A,E,B,O,题后小结：,1,作,圆心到弦的距离,和,连半径,是圆中常见的辅助线；,O,A,B,C,r,d,2,半径（,r),、半弦、圆心到弦的距离,(d),组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,D,C,10,8,8,.,A,E,B,O,垂径定理的应用,变式,：,如图，一条公路的转变处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD=600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OECD,垂足为,F,EF=90m.,求这段弯路的半径。,解,:,连接,OC,O,C,D,E,F,例,3,、,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,E,.,A,C,D,B,O,与相等,证明：过点作,AB,于点，,则，,所以，,即,变式：,如图，已知,AB,为,O,的直径，,AC,为弦，,OD,AC,，交,AC,于点,D,，,BC=6cm,，求,OD,的长。,A,C,B,D,O,新建,(6).doc,如图，过已知,P,为,O,内的一点，你能用三角尺画,O,的一条弦,AB,使点,P,恰为,AB,的中点吗？说明你的理由。,B,C,BC,就是所要求的弦,适度拓展,本节课主要内容,：,（,1,）圆的轴对称性；（,2,）垂径定理,2,垂径定理的应用：,计算和证明,颗粒归仓,3,、小结解题的主要方法：,（,1,）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,E,B,O,（,2,）半径（,r),、半弦、弦心距,(d),组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,
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