线性方程组解的结构课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6 线性方程组解的结构,主要内容,齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的结构,平面间位置关系的讨论,三元非齐次线性方程组解的几何意义,目录 下页 返回 结束,1,6 线性方程组解的结构主要内容齐次线性方程组解的结构非齐次,在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我,们进一步来讨论线性方程组解的结构.,在方程组的,解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题.,在有,多个解的情况下，所谓,解的结构,就是解与解之间的,关系.,下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但,是全部的解都可以用有限多个解表示出来.,这就是,本节要讨论的问题和要得到的主要结果.,下面的讨,论当然都是对于有解的情况说的,这一点就不再每,次都说明了.,首页 上页 下页 返回 结束,2,在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方,一、齐次线性方程组解的结构,设有齐次线性方程组,它的解是一个,n,维向量,称之为,解向量,解构成的集合，称之为,解集,.,由它的所有,首页 上页 下页 返回 结束,3,一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组它的解是一个 n,1.解的性质,方程组(1)有下面两个重要性质：,性质 1,两个解的和还是方程组的解.,证,设(,k,1,k,2,k,n,),与(,l,1,l,2,l,n,)是方,程组(1)的两个解，则有,首页 上页 下页 返回 结束,4,1.解的性质方程组(1)有下面两个重要性质：性质 1,把两个解的和,(,k,1,+,l,1,k,2,+,l,2,k,n,+,l,n,)(2),代入方程组，得,这说明(2)确实是方程组的解.,首页 上页 下页 返回 结束,5,把两个解的和(k1+l1,k2+l2,性质 2,一个解的倍数还是方程组的解.,证,设(,k,1,k,2,k,n,)是方程组(1)的一个解,c,为一常数，因为,所以(,ck,1,ck,2,ck,n,)是方程组(1)的解.,推论,齐次线性方程组(1)的任意有限个解的线性组合还是该方程组的解.,首页 上页 下页 返回 结束,6,性质 2 一个解的倍数还是方程组的解.证设(k1,2.解的性质的几何意义,我们以 3 元齐次线性方程组为例来解释这两个,性质的几何意义.,3 元齐次线性方程组中的每个方,程表示一个过原点的平面.,于是方程组的解，也就,是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条,过原点的直线或一个过原点的平面.,以原点为起点,而终点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述,性质.,首页 上页 下页 返回 结束,7,2.解的性质的几何意义我们以 3 元齐次线性方程组为例来,3.解的结构问题的提出,对于齐次线性方程组，由它的两个性质即得，,解的线性组合还是方程组的解.,这个性质说明了，,如果找到了方程组的几个解，那么这些解的所有可,能的线性组合就给出了很多的解.,基于这个事实，,我们要问：,齐次线性方程组的全部解是否能够通过,它的有限的几个解的线性组合表示出来？,这就是当解不唯一时,解与解之间的关系问题(即解的结构).为此，我们引入下面的定义.,首页 上页 下页 返回 结束,8,3.解的结构问题的提出对于齐次线性方程组，由它的两个性质,4.基础解系的定义,定义 17,齐次线性方程组(1)的一组解,1,2,t,称为(1)的一个,基础解系,，如果,1)(1)的任一解都能表成,1,2,t,的线,性,组合；,2),1,2,t,线性无关.,注:,定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解.事实上,如果,1,2,t,线,性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线,性组合，譬如说,t,可以表示成,1,2,t,-1,的,线性组合,那么,1,2,t,-1,显然也具有性,质 1).,首页 上页 下页 返回 结束,9,4.基础解系的定义 定义 17 齐次,5.基础解系的存在性与求法,齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的,定理给出.,定理 8,在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于,n,-,r,这里,r,表示系数矩阵的秩(,n,-,r,也就是自由未知量的个数).,证,设方程组(1)的系数矩阵,A,的秩为,r,不妨设,A,的左上角的,r,级子式不等于零.,于是按上一节最后,的分析，方程组(1)可以改写成,首页 上页 下页 返回 结束,10,5.基础解系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存在,如果,r,=,n,，那么方程组没有自由未知量,方程,组,(3)的右端全为零.,这时方程组只有零解,当然也,就,不存在基础解系.,以下设,r,n,.,我们知道，把自由未知量的任意一组值(,c,r,+1,c,r,+2,c,n,),代入(3),就唯一地决定了方程(3),也就是方程组(1)的一个解.,换句话说,方程组(1),首页 上页 下页 返回 结束,11,如果 r=n，那么方程组没有自由未知量,方程组(3),的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个,解就完全一样.,特别地，如果在一个解中，自由未,知量的值全为零，那么这个解一定是零解.,因此，为了求方程组(1)的,n,-,r,个不同的解，,在(3)中，令自由未知量,x,r,+1,x,r,+2,x,n,取下列,n,-,r,组数：,首页 上页 下页 返回 结束,12,的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样.特,于是就得出方程组(3),也就是方程组(1)的,n,-,r,个解:,下证，(5)就是一个基础解系.,首先证明,1,2,n,-,r,线性无关.,事实上,如果,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,n,-,r,n,-,r,=0,即,首页 上页 下页 返回 结束,13,于是就得出方程组(3),也就是方程组(1)的 n-r,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,-,r,n,-,r,=(,*,*,k,1,k,2,k,n,-,r,),=(0,0,0,0,0).,比较最后,n,-,r,个分量，得,k,1,=,k,2,=,k,n,-,r,=0.,因此,1,2,n,-,r,线性无关.,再证明方程组(1)的任意一个解都可以由,1,2,n,-,r,线性表出.,设,=(,c,1,c,r,c,r,+1,c,r,+2,c,n,)(6),首页 上页 下页 返回 结束,14,k11+k22+k n-rn-r=,是方程组(1)的一个解.,由于,1,2,n,-,r,是(1),的解，所以线性组合,c,r,+1,1,+,c,r,+2,2,+,c,n,n,-,r,也是(1)的一个解.,比较(7)和(6)的最后,n,-,r,个分,量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全,一样，即,=(,*,*,c,r,+1,c,r,+2,c,n,)(7),=,c,r,+1,1,+,c,r,+2,2,+,+,c,n,n,-,r,(8),这就是说，任意一个解,都能表成,1,2,n,-,r,首页 上页 下页 返回 结束,15,是方程组(1)的一个解.由于1,2,的线性组合.,综合以上两点,我们就证明了,1,2,n,-,r,确为方程组(2)的一个基础解系,因而齐,次线性,方程组(1)的确有基础解系.,证明中具体给出的这个,基础解系是由,n,-,r,个解组成.,至于其它的基础解系,由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都,是线性无关的，因而有相同个数的向量.,定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.,首页 上页 下页 返回 结束,16,的线性组合.综合以上两点,我们就证明了1,2,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.,证,设,1,2,n,-,r,是方程组,的一个基础解系，向量组,1,2,t,线性无关,且与,1,2,n,-,r,等价.,由基础解系的定义，可得出下面重要结论：,首页 上页 下页 返回 结束,17,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量,下面来证明,1,2,t,是方程组(1)的基础,解系.,因为,1,2,t,与,1,2,n,-,r,等价,且它们都是线性无关的，所以有,1),t,=,n,-,r,;,2),1,2,t,可经,1,2,n,-,r,线性表,出.,由 2)可得,i,=,c,1,1,+,c,2,2,+,c,n,-,r,n,-,r,(,i,=1,2,t,),于是,1,2,t,也是方程组(1)线性无关的解.,首页 上页 下页 返回 结束,18,下面来证明1,2,t 是方程组(1,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,-,r,n,-,r,设,1,2,n,-,r,是齐次线性方程组 (1)的,基础解系，则称,是齐次线性方程组 (1)的,一般解,.,齐次线性方程组的一般解,首页 上页 下页 返回 结束,19,=k11+k22+kn-rn,例1,求齐次线性方程组,的一个基础解系.,解 系数矩阵作初等行变换,首页 上页 下页 返回 结束,20,例1 求齐次线性方程组的一个基础解系.解 系数矩阵作初,于是原方程组与,同解.,将此方程组变形为,首页 上页 下页 返回 结束,21,于是原方程组与同解.将此方程组变形为首页 上页 下页,分别令,得,首页 上页 下页 返回 结束,22,分别令得首页 上页 下页 返回 结束 22,总结上述讨论,求解齐次线性方程组可按下列步骤进行:,1)将方程组(1)的系数矩阵,A,用初等行变换(必要时可用交换两列的变换)化为,首页 上页 下页 返回 结束,23,总结上述讨论,求解齐次线性方程组可按下列步,从而得到与原方程组同解的齐次线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,24,从而得到与原方程组同解的齐次线性方程组首页 上页 下,3)写出方程组的通解(一般解),首页 上页 下页 返回 结束,25,3)写出方程组的通解(一般解)首页 上页 下页,二、非齐次线性方程组解的结构,1.非齐次线性方程组与其导出组,设有非齐次线性方程组,若令,b,1,=,b,2,=,b,s,=0，就得到齐次方程组(1).,方程组(1)称为方程组(9)的,导出组,.,首页 上页 下页 返回 结束,26,二、非齐次线性方程组解的结构1.非齐次线性方程组与其导出,2.解的性质,方程组(9)的解与它的导出组(1)的解之间有密,切的关系：,1),线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组,(1)的解.,证,设(,k,1,k,2,k,n,),与(,l,1,l,2,l,n,),是方程组(9)的两个解，则有,首页 上页 下页 返回 结束,27,2.解的性质方程组(9)的解与它的导出组(1)的,它们的差是(,k,1,-,l,1,k,2,-,l,2,k,n,-,l,n,).,显然有,这就是说，(,k,1,-,l,1,k,2,-,l,2,k,n,-,l,n,)是导出组(1),的一个解.,2),线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1),的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.,证,设(,k,1,k,2,k,n,)是方程组(9)的一个解,即,首页 上页 下页 返回 结束,28,它们的差是(k1-l1,k2-l2,又设(,l,1,l,2,l,n,)是导出组(1)的一个解，即,显然,这就是说,(,k,1,+,l,1,k,2,+,l,2,k,n,+,l,n,)是(9)的一个解.,首页 上页 下页 返回 结束,29,又设(l1,l2,ln)是导出组(,3.非齐次线性方程组解的结构,定理 9,如果,0,是方程组(9)的一个特解,那么,方程组(9)的任一个解,都可以表成,=,0,+,，(10),其中,是导出组(1)的一个解.,因此,对于方程组(9),的任一个特解,0,当,取遍它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解.,首页 上页 下页 返回 结束,30,3.非齐次线性方程组解的结构定理 9 如果 0,证,显然,=,0,+(,-,0,)，,由上面的 1)，,-,0,是导出组(1)的一个解，令,-,0,=,，,就得到定理的结论.,既然(9)的任一个解都能表成,(10)的形式，由 2)在,取遍(1)的全部解的时候，,=,0,+,就取