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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,因式分解,（复习）,黄山头中学 王子荣,因式分解（复习）黄山头中学 王子荣,1,知识点1 因式分解的定义,把一个多项式化成几个整式的积的,形式，这种变形叫做把这个多项式因式,分解，也叫做把这个多项式分解因式。,X,2,-1 (X+1)(X-1),因式分解,整式乘法,知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积,2,知识点2 提公因式法,多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公,共的因式,m,我们把因式m叫做这个多项式,的公因式.ma+mb+mc=,m,(a+b+c)就是把ma+,mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中,一个因式是各项的公因式,m,，另一个因式,(a+b+c)是ma+mb+mc除以,m,所得的商，像,这种分解因式的方法叫做提公因式法.,例如：,x,2,x=x(x-1)，,8a,2,b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1),x,2a,知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都,3,探究交流,下列变形是否是因式分解？为什么?,(1)3x,2,y-xy+y=y(3x,2,-x)；,(2)x,2,-2x+3=(x-1),2,+2；,(3)x,2,y,2,+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；,(4)x,n,(x,2,-x+1)=x,n+2,-x,n+1,+x,n,.,提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.,不满足因式分解的含义,因式分解是恒等变形而本题不恒等.,是整式乘法.,探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么?提公因式错误，可以,4,典例剖析,例1 用提公因式法将下列各式因式分解.,(1)-x,3,z+x,4,y；(2)3x(a-b)+2y(b-a),解：(1)-x,3,z+x,4,y=x,3,(-z+xy).,(2)3x(a-b)+2y(b-a),=3x(a-b)-2y(a-b),=(a-b)(3x-2y),x,3,+(b-a),-(a-b),(a-b),典例剖析 例1 用提公因式法将下列各式因式分解.解：(1)-,5,小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：,(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项,要合并，而且每个括号内不能再分解.,如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y),=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n),=(x+y)(4m-6n).,=2(x+y)(2m-3n).,(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先,统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到,(a-b),n,=(b-a),n,(n为偶数),例如：分解因式a(x-y),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,.,本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x),统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简,便，因为(x-y),2,=(y-x),2,.,a(x-y),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,=a(y-x),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,=(y-x),2,a+b(y-x)+c=(y-x),2,(a+by-bx+c).,(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成,幂的形式.,例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b),=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b),=(a-2b)(8a-16b),=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b),2,.,小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1,6,做一做,把下列各式分解因式.,(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；,(2)4p(1-q),3,+2(q-1),2,；,2(2a+b),2,2(1-q),2,(2p-2pq+1),或2(q-1),2,(2p-2pq+1),做一做 把下列各式分解因式.2(2a+b)22(1-q)2(,7,(2)完全平方公式：a,2,2ab+b,2,=(ab),2,其中，a,2,2ab+b,2,叫做完全平方式.,例如：,4x,2,-12xy+9y,2,=(2x),2,-22x3y+(3y),2,=(2x-3y),2,.,知识点3 公式法,(1)平方差公式：a,2,-b,2,=(a+b)(a-b).,例如：4x,2,-9=(2x),2,-3,2,=(2x+3)(2x-3).,(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2其中，a,8,探究交流,下列变形是否正确？为什么？,(1)x,2,-3y,2,=(x+3y)(x-3y)；,(2)4x,2,-6xy+9y,2,=(2x-3y),2,；,(3)x,2,-2x-1=(x-1),2,.,目前在有理数范围内不能再分解.,不是完全平方式，不能进行分解,不是完全平方式，不能进行分解,探究交流 下列变形是否正确？为什么？目前在有理数范围内不能再,9,例2 把下列各式分解因式.,(1)(a+b),2,-4a,2,；(2)1-10 x+25x,2,；,(3)(m+n),2,-6(m+n)+9,解:(1)(a+b),2,-4a,2,=(a+b),2,-(2a),2,做一做,把下列各式分解因式.,(1)(x,2,+4),2,-2(x,2,+4)+1；,(2)(x+y),2,-4(x+y-1).,(1)(x,2,+3),2,(2)(x+y-2),2,(2)1-10 x+25x,2,(3)(m+n),2,-6(m+n)+9=(m+n-3),2,.,=(a+b+2a)(a+b-2a),=(3a+b)(b-a),=(1-5x),2,=1-10 x+(5x),2,4a,2,(2a),2,+2a,-2a,25x,2,(5x),2,例2 把下列各式分解因式.解:(1)(a+b)2-4a2=,10,综合运用,例3 分解因式.,(1)x,3,-2x,2,+x；(2)x,2,(x-y)+y,2,(y-x),解:(1)x,3,-2x,2,+x,=x(x,2,-2x+1),=x(x-1),2,(2)x,2,(x-y)+y,2,(y-x),x,=x,2,(x-y)-y,2,(x-y),=(x-y)(x+y)(x-y),=(x+y)(x-y),2,=(x-y)(x,2,-y,2,),小结 解因式分解题时，首先考虑,是否有公因式，如果有，先提公因式；,如果没有公因式是两项，则考虑能否用,平方差公式分解因式.是三项式考虑用,完全平方式，最后，直到每一个因式都,不能再分解为止.,综合运用 例3 分解因式.解:(1)x3-2x2+x=x(,11,探索与创新题,例4 若9x,2,+kxy+36y,2,是完全平方式，则k=,分析:完全平方式是形如：a,2,2ab+b,2,即两数,的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).,9x,2,+kxy+36y,2,=(3x),2,+kxy+(6y),2,kxy=23x6y=36xy,k=36,做一做,若x,2,+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_,k=3或k=-9,探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，,12,课堂小结,用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.,各项有“公”先提“公”，,首项有负常提负，,某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。,课堂小结 用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解,13,自我评价 知识巩固,1.若x,2,+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=(),A.3B.-5C.7.D.7或-1,2.若(2x),n,-81=(4x,2,+9)(2x+3)(2x-3),则n=(),A.2B.4C.6D.8,3.分解因式：4x,2,-9y,2,=_.,4.已知x-y=1,xy=2，求x,3,y-2x,2,y,2,+xy,3,的值.,5.把多项式1-x,2,+2xy-y,2,分解因式,6.解方程组,自我评价 知识巩固 1.若x2+2(m-3)x+16是完全,14,思考题 分解因式(x,4,+x,2,-4)(x,4,+x,2,+3)+10,分析:把x,4,+x,2,作为一个整体，用一个,新字母代替，从而简化式子的结构.,解：令x,4,+x,2,=m，则原式可化为,(m-4)(m+3)+10,=m,2,-m-12+10,=m,2,-m-2,=(m-2)(m+1),=(x,4,+x,2,-2)(x,4,+x,2,+1),=(x,2,+2)(x,2,-1)(x,4,+x,2,+1),=(x,2,+2)(x+1)(x-1)(x,4,+x,2,+1),思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10,15,自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用-三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。怎样才能拿得起？王国维人间词话中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chu)躇(ch)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子以自强不息”。第三重境界是“众里寻她千百度，蓦(m)然回首，那人却在，灯火阑珊处”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。跟佛家学放得下。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到金刚经所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到心经所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。什么是“放得下”？且看这个“佛”字左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽
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