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4.3.1对数的概念,高中数学 新人教,A,版,同步精品课件,2020,必修第一册,第四章 指数函数与对数函数,4.3.1对数的概念高中数学 新人教A版 2020必修第一,2020年-高中数学-必修第一册-第四章-4,一、对数的概念,1,.,(1),某种细胞分裂时,由,1,个分裂成,2,个,2,个分裂成,4,个,依次类推,那么,1,个这样的细胞分裂,x,次后,得到的细胞个数,N,是多少,?,提示,:,N=,2,x,.,(2),上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为,8,个,16,个,则分裂的次数分别是多少,?,提示,:,3,次,4,次,.,(3),上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数,N,能求出分裂次数,x,吗,?,提示,:,能,x=,log,2,N.,2,.,填空,:,一般地,如果,a,x,=N,(,a,0,且,a,1),那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数,记作,x=,log,a,N,其中,a,叫做对数的,底数,N,叫做,真数,.,一,二,三,一、对数的概念一二三,一,二,三,3,.,在对数式,x=,log,a,N,中,底数,a,和真数,N,的取值范围是什么,为什么,?,提示,:,由于对数式中的底数,a,就是指数式中的底数,a,所以,a,的取值范围为,a,0,且,a,1;,由于在指数式中,a,x,=N,而,a,x,0,所以,N,0,.,4,.,对数式与指数式的互化,(1),在指数式和对数式中都含有,a,x,N,这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点,?,提示,:,一二三3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取值范围,一,二,三,(,2)5,3,=,125,化为对数式是什么,?log,4,16,=,2,化为指数式是什么,?,指数式与对数式具有怎样的关系,?,提示,:,log,5,125,=,3,4,2,=,16,.,当,a,0,a,1,时,a,x,=N,x=,log,a,N.,(3)(,-,3),2,=,9,能否直接化为对数式,log,(,-,3),9,=,2?,提示,:,不能,因为只有符合,a,0,a,1,时,才有,a,x,=N,x=,log,a,N.,一二三(2)53=125化为对数式是什么?log416=2化,一,二,三,答案,:,(1)B,(2)D,(,3)C,一二三答案:(1)B(2)D(3)C,一,二,三,(4),判断正误,因为,(,-,2),2,=,4,所以,log,-,2,4,=,2,.,(,),log,3,4,与,log,4,3,表示的含义相同,.,(,),答案,:,(1)B,(2)D,(3)C,(4),一二三(4)判断正误,一,二,三,二、常用对数与自然对数,1,.,(,1)10,b,=a,用对数式,如何,表示,?,提示,:,b=,log,10,a,简记为,b=,lg,a.,(2),在,科学计算器上,有一个特殊符号,“ln”,你知道它是什么吗,?,提示,:,符号,“ln”,是一种对数符号,它是用来计算以,“e”,为底的对数的,.,(3)ln,M=n,用指数式如何表示,?,提示,:,e,n,=M.,2,.,填空,3,.,做一做,(1)lg 10,5,=,;(2)ln e,=,.,答案,:,(1)5,(2)1,一二三二、常用对数与自然对数3.做一做,一,二,三,三,、,对数的基本性质,1,.,(1)“6,0,=,?”,化成对数式呢,?,提示,:,1,log,6,1,=,0,.,(2)“5,1,=,?”,化成对数式呢,?,提示,:,5,log,5,5,=,1,.,2,.,填空,对数的基本性质,(1),负数,和,零,没有对数,.,(2)log,a,1,=,0,(,a,0,a,1),.,(3)log,a,a=,1,(,a,0,a,1),.,一二三三、对数的基本性质,一,二,三,3,.,做一做,(2),若,log,3,(log,2,x,),=,0,则,x=,.,解析,:,(2),由已知得,log,2,x=,1,故,x=,2,.,答案,:,(1)D,(2)2,一二三3.做一做,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,对数,式与指数式的互化,例,1,将下列指数式与对数式互化,:,分析,:,利用当,a,0,且,a,1,时,log,a,N=b,a,b,=N,进行互化,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对数式与指数式的互化分析:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟,1,.,log,a,N=b,与,a,b,=N,(,a,0,且,a,1),是等价的,表示,a,b,N,三者之间的同一种关系,.,如下图,:,2,.,根据这个关系式可以将指数式与对数式互化,:,将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变,;,而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.logaN=b,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练,1,将下列指数式与对数式互化,:,(5),x,z,=y,(,x,0,且,x,1,y,0,),.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1将下列指数式与对,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,利用,对数式与指数式的关系求值,例,2,求,下列各式中,x,的值,:,(1)4,x,=,53,x,;,(2)log,7,(,x+,2),=,2;,分析,:,利用指数式与对数式之间的关系求解,.,(2),log,7,(,x+,2),=,2,x+,2,=,7,2,=,49,x=,47,.,(3),ln,e,2,=x,e,x,=,e,2,x=,2,.,(5),lg,0,.,01,=x,10,x,=,0,.,01,=,10,-,2,x=-,2,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用对数式与指数式的关系求,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟,指数,式,a,x,=N,与对数式,x=,log,a,N,(,a,0,且,a,1),表示了三个量,a,x,N,之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟指数式ax=N与对,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练,2,求下列各式中的,x,值,:,(2),log,2,16,=x,2,x,=,16,2,x,=,2,4,x=,4,.,(3),log,x,27,=,3,x,3,=,27,即,x,3,=,3,3,x=,3,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2求下列各式中的x,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,利用,对数的基本性质与对数恒等式求值,例,3,求下列各式中,x,的值,:,(1)ln(log,2,x,),=,0;,(2)log,2,(lg,x,),=,1;,分析,:,利用,log,a,a=,1,log,a,1,=,0(,a,0,且,a,1),及对数恒等式求值,.,解,:,(,1),ln(log,2,x,),=,0,log,2,x=,1,x=,2,1,=,2,.,(2),log,2,(lg,x,),=,1,lg,x=,2,x=,10,2,=,100,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用对数的基本性质与对数恒,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思,感悟,1,.,在对数的运算中,常用对数的基本性质,:(1),负数和零没有对数,;(2)log,a,1,=,0(,a,0,a,1);(3)log,a,a=,1(,a,0,a,1),进行对数的化简与求值,.,2,.,对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用,.,对数,恒等式,=,N,(,a,0,且,a,1,N,0),的结构形式,:(1),指数中含有对数式,;(2),它们是同底的,;(3),其值为对数的真数,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 1.在对数的运算,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练,3,求下列各式中,x,的值,:,解,:,(1),ln(lg,x,),=,1,lg,x=,e,x=,10,e,.,(2),log,2,(log,5,x,),=,0,log,5,x=,1,x=,5,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3求下列各式中x的,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,因忽视底数的取值范围而致错,典例,已知,log,(,x+,3),(,x,2,+,3,x,),=,1,求实数,x,的值,.,错解,由对数的性质可得,x,2,+,3,x=x+,3,解得,x=,1,或,x=-,3,.,以上解题过程中都有哪些错误,?,出错的原因是什么,?,你如何改正,?,如何防范,?,提示,:,上述解法的错误在于忘记检验底数需大于,0,且不等于,1,.,解得,x=,1,.,故实数,x,的值为,1,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽视底数的取值范围而致错,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,防范,措施,1,.,在对数表达式,x=,log,a,N,中,需满足底数,a,0,且,a,1,真数,N,0,.,2,.,在利用对数式的性质求出,a,的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施 1.在对数表达式,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练,对数式,log,(,a-,2),(5,-a,),中实数,a,的取值范围是,(,),A.(,-,5),B,.,(2,5),C.(2,3),(3,5),D,.,(2,+,),解析,:,要使对数式,b=,log,(,a-,2),(5,-a,),有意义,故,选,C,.,答案,:,C,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练对数式log(a-,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,1,.,将,log,5,b=,2,化为指数式是,(,),A.5,b,=,2B.,b,5,=,2C.5,2,=b,D.,b,2,=,5,答案,:,C,答案,:,C,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.将log5b=2化为指,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,3,.,16,、,17,世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,.,直到,18,世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即,a,b,=N,b=,log,a,N.,现在已知,a=,log,2,3,则,2,a,=,.,解析,:,由,a=,log,2,3,化对数式为指数式可得,2,a,=,3,.,答案,:,3,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.16、17世纪之交,随,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,5,.,若,log,a,2,=m,log,a,3,=n,则,a,2,m+n,=,.,解析,:,因为,log,a,2,=m,log,a,3,=n,所以,a,m,=,2,a,n,=,3,.,所以,a,2,m+n,=a,2,m,a,n,=,(,a,m,),2,a,n,=,2,2,3,=,12,.,答案,:,12,6,.,求下列各式中,x,的值,:,(3),由,log,3,(lg,x,),=,1,得,lg,x=,3,故,x=,10,3,=,1,000,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若loga2=m,lo,
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