第9章MATLAB符号计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,9,章,MATLAB,符号计算,9.1,符号对象,9.2,符号微积分,9.3,级 数,9.4,符号方程求解,9.1,符号对象,9.1.1,建立符号对象,1,建立符号变量和符号常量,MATLAB,提供了两个建立符号对象的函数：,sym,和,syms,，两个函数的用法不同。,(1)sym,函数,sym,函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：,符号量名,=sym(,符号字符串,),该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。,应用,sym,函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。,(2),syms,函数,函数,sym,一次只能定义一个符号变量，使用不方便。,MATLAB,提供了另一个函数,syms,，一次可以定义多个符号变量。,syms,函数的一般调用格式为：,syms,符号变量名,1,符号变量名,2,符号变量名,n,用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符,(),，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2,建立符号表达式,含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下,3,种方法：,(1),利用单引号来生成符号表达式。,(2),用,sym,函数建立符号表达式。,(3),使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,9.1.2,符号表达式运算,1,符号表达式的四则运算,符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数,symadd,、,symsub,、,symmul,和,symdiv,来实现，幂运算可以由,sympow,来实现。,2,符号表达式的提取分子和分母运算,如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用,numden,函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：,n,d,=,numden(s,),该函数提取符号表达式,s,的分子和分母，分别将它们存放在,n,与,d,中。,3,符号表达式的因式分解与展开,MATLAB,提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：,factor(s,),：对符号表达式,s,分解因式。,expand(s,),：对符号表达式,s,进行展开。,collect(s,),：对符号表达式,s,合并同类项。,collect(s,v,),：对符号表达式,s,按变量,v,合并同类项。,4,符号表达式的化简,MATLAB,提供的对符号表达式化简的函数有：,simplify(s,),：应用函数规则对,s,进行化简。,simple(s,),：调用,MATLAB,的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,5,符号表达式与数值表达式之间的转换,利用函数,sym,可以将数值表达式变换成它的符号表达式。,函数,numeric,或,eval,可以将符号表达式变换成数值表达式。,9.1.3,符号表达式中变量的确定,MATLAB,中的符号可以表示符号变量和符号常量。,findsym,可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：,findsym(s,n,),函数返回符号表达式,s,中的,n,个符号变量，若没有指定,n,，则返回,s,中的全部符号变量。,9.1.4,符号矩阵,符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。,由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。,MATLAB,还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如,transpose(s,),：返回,s,矩阵的转置矩阵。,determ(s,),：返回,s,矩阵的行列式值。,其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如,diag,、,triu,、,tril,、,inv,、,det,、,rank,、,eig,等，也可直接应用于符号矩阵。,9.2,符号微积分,9.2.1,符号极限,limit,函数的调用格式为：,(1),limit(f,x,a,),：求符号函数,f(x,),的极限值。即计算当变量,x,趋近于常数,a,时，,f(x,),函数的极限值。,(2),limit(f,a,),：求符号函数,f(x,),的极限值。由于没有指定符号函数,f(x,),的自变量，则使用该格式时，符号函数,f(x,),的变量为函数,findsym(f,),确定的默认自变量，即变量,x,趋近于,a,。,(3),limit(f,),：求符号函数,f(x,),的极限值。符号函数,f(x,),的变量为函数,findsym(f,),确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于,0,，即,a=0,的情况。,(4),limit(f,x,a,right,),：求符号函数,f,的极限值。,right,表示变量,x,从右边趋近于,a,。,(5),limit(f,x,a,left,),：求符号函数,f,的极限值。,left,表示变量,x,从左边趋近于,a,。,例,9-1,求下列极限。,极限,1,：,syms,a m x;,f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);,limit(f,x,a,),ans,=,(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a,极限,2,：,syms,x t;,limit(1+2*t/x)(3*,x),x,inf,),ans,=,exp(6*t),极限,3,：,syms,x;,f=x*(sqrt(x2+1)-x);,limit(f,x,inf,left,),ans,=,1/2,极限,4,：,syms,x;,f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);,limit(f,x,2,right),ans,=,-1/2,9.2.2,符号导数,diff,函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：,diff(s,),：没有指定变量和导数阶数，则系统按,findsym,函数指示的默认变量对符号表达式,s,求一阶导数。,diff(s,v,),：以,v,为自变量，对符号表达式,s,求一阶导数。,diff(s,n,),：按,findsym,函数指示的默认变量对符号表达式,s,求,n,阶导数，,n,为正整数。,diff(s,v,n,),：以,v,为自变量，对符号表达式,s,求,n,阶导数。,例,9-2,求下列函数的导数。,9.2.3,符号积分,符号积分由函数,int,来实现。该函数的一般调用格式为：,int(s,),：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按,findsym,函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式,s,求不定积分。,int(s,v,),：以,v,为自变量，对被积函数或符号表达式,s,求不定积分。,int(s,v,a,b,),：求定积分运算。,a,b,分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间,a,b,上的定积分。,a,和,b,可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷,(,inf,),。当函数,f,关于变量,x,在闭区间,a,b,上可积时，函数返回一个定积分结果。当,a,b,中有一个是,inf,时，函数返回一个广义积分。当,a,b,中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,例,9-3,求下列积分。,syms,x x1 alpha u t;,A=,cos(x,*,t),sin(x,*,t);-sin(x,*,t),cos(x,*t);,int(1/(1+x2)%returns,atan(x,),int(sin(alpha,*,u),alpha,)%returns -,cos(alpha,*,u)/u,int(besselj(1,x),x)%returns -besselj(0,x),int(x1*log(1+x1),0,1)%returns 1/4,int(4*x*t,x,2,sin(t)%returns 2*sin(t)2*t-8*t,int(exp(t),exp(alpha,*t)%returns ,exp(t,),%1/alpha*,exp(alpha,*t),int(A,t,)%returns ,sin(x,*,t)/x,-,cos(x,*,t)/x,cos(x,*,t)/x,sin(x,*,t)/x,9.2.4,积分变换,常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和,Z,变换。,1,傅立叶,(Fourier),变换,在,MATLAB,中，进行傅立叶变换的函数是：,fourier(f,x,t,),：求函数,f(x,),的傅立叶像函数,F(t,),。,ifourier(F,t,x,),：求傅立叶像函数,F(t,),的原函数,f(x,),。,例,9-4,syms,t v w x,fourier(1/t)%returns i*pi*(,Heaviside(-%w)-Heaviside(w,),fourier(exp(-x2),x,t)%returns%pi(1/2)*exp(-1/4*t2),fourier(exp(-t,)*,sym(Heaviside(t),v,)%returns 1/(1+i*v),fourier(diff(sym(F(x),x,w,)%returns,%i,*w*,fourier(F(x),x,w,),2,拉普拉斯,(Laplace),变换,在,MATLAB,中，进行拉普拉斯变换的函数是：,laplace(fx,x,t,),：求函数,f(x,),的拉普拉斯像函数,F(t,),。,ilaplace(Fw,t,x,),：求拉普拉斯像函数,F(t,),的原函数,f(x,),。,例,9-5,计算,y=x,3,的拉普拉斯变换及其逆变换。,3,Z,变换,当函数,f(x,),呈现为一个离散的数列,f(n,),时，对数列,f(n,),进行,z,变换的,MATLAB,函数是：,ztrans(fn,n,z,),：求,fn,的,Z,变换像函数,F(z,),。,iztrans(Fz,z,n,),：求,Fz,的,z,变换原函数,f(n,),。,例,9-6,求数列,fn=e,-2n,的,Z,变换及其逆变换。,9.3,级 数,9.3.1,级数符号求和,求无穷级数的和需要符号表达式求和函数,symsum,，其调用格式为：,symsum(s,v,n,m,),其中,s,表示一个级数的通项，是一个符号表达式。,v,是求和变量，,v,省略时使用系统的默认变量。,n,和,m,是求和的开始项和末项。,例,9-7,求下列级数之和。,9.3.2,函数的泰勒级数,MATLAB,提供了,taylor,函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：,taylor(f,v,n,a,),该函数将函数,f,按变量,v,展开为泰勒级数，展开到第,n,项,(,即变量,v,的,n-1,次幂,),为止，,n,的缺省值为,6,。,v,的缺省值与,diff,函数相同。参数,a,指定将函数,f,在自变量,v=a,处展开，,a,的缺省值是,0,。,例,9-8,求函数在指定点的泰勒级数展开式。,9.4,符号方程求解,9.4.1,符号代数方程求解,在,MATLAB,中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数,solve,实现，其调用格式为：,solve(s,),：求解符号表达式,s,的代数方程，求解变量为默认变量。,solve(s,v,),：求解符号表达式,s,的代数方程，求解变量为,v,。,solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn,),：求解符号表达式,s1,s2,sn,组成的代数方程组，求解变量分别,v1,v2,vn,。,例,9-9,解下列方程。,9.4.2,符号常微分方程求解,在,MATLAB,中，用大写字母,D,表示导数。例如，,Dy,表示,y,，,D2y,表示,y,，,Dy(0)=5,表示,y(0)=5,。,D3y+D2y+Dy-x+5=0,表示微分方程,y+y+y-x+5=