线性代数ppt课件《特征值和特征向量》

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.,一.定义和计算,定义6.1,设,A,是n阶方阵,如果数,0,和n维非零列向量,满足关系式,A,=,0,则称,0,为,A,的特征值,为,A,的属于,0,的一个特征向量.,宪纲僵秩坡盼究稀纱鹊滴苍罐裂聂树摸澈撅队特竿铁袒枝债赎旨沁距伤葬线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,第六章 矩阵的特征值和特值向量1 矩阵的特征值和特征向,1,如果A是奇异矩阵(|A|=0),则齐次线性方程组,Ax,=,0,有非零解,若记,为,Ax,=,0,的非零解,则有,可见,0,=0为奇异矩阵,A,的特征值,方程组,Ax,=,0,的非零解,都是,A,的属于特征值,0,=0的特征向量.,A,=,0,=0,一般地,由,A,=,0,可得,(,0,E,A,),=,0,可见,是n元齐次线性方程组,(,0,E,A,),x,=,0,的非零解.所以有|,0,E,A,|=0.,丙鲸拱镭魂网攒丢哭偶陪猩碟涤宪例山髓谐捍详蛀鹤痹粟蚜盗缚爹占斌修线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,如果A是奇异矩阵(|A|=0),则齐次线性方程组Ax=0,2,定义6.2,设,A,是n阶方阵,是参数,则行列式,称为方阵,A,的特征多项式.称det(,E A,)=0为方阵,A,的,特征方程,.,A,的特征值就是特征方程的解,n阶方阵,A,有n个特征值.,A,的属于特征值,i,的特征向量就是齐次线性方程组,(,E A,),x,=,0,的所有非零解.,疼澳剐伸钵脑鹤鸦瞻剖盅衡彪蒜峦院擞为挚笔拉池磺啊雪吞油筒揪绞轩阶线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,定义6.2 设A是n阶方阵,是参数,则行列式 称为方,3,的特征值和特征向量.,解 A,的特征多项式为,=(,-1,)(-2),2,-1=,(,-1,),2,(-3),所以,A,的特征值为,1,=,2,=1,3,=3.,对,1,=,2,=1,解方程(E-,A,),x=0,由于,例1,求矩阵,斗益绣杰但绊肋累厢夷褪看凶洼仲任闲沥藕藩为疥脉吴渝十锄彦疫斩邹视线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为=(-1)(,4,所以k,1,(k0)是属于,1,=,2,=1的全部,特征向量.,对,3,=3,解方程(3,E-A)x=0,由于,得同解方程:,基础解系为,2,=(-1,1,1),T,.,所以k,2,(k0)是属于,3,=3的全部,特征向量.,基础解系为,1,=(0,0,1),T,.,得同解方程:,糜镑鼓逞描容促昔肖透瘴鲤殊厄禁揣领击羽卵僧删讲晒驭利涨恰当河傅酚线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,所以k1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量.,5,的特征值和特征向量.,解 A,的特征多项式为,=(,-1,)(-2),2,-1=,(,-1,),2,(,-3,),所以,A,的特征值为,1,=,2,=1,3,=3.,对,1,=,2,=1,解方程(,E-A,),x=0,由于,例2,求矩阵,试讣硷作堑入雪奈出趾女矗富箱泅忌肢赎拙吱彩惧徐钉书录忽孜帘常焙距线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为=(-1)(,6,所以属于,1,=,2,=1的全部,特征向量为,K,1,1,+k,2,2,(k,1,k,2,不同时为0),对,3,=3,解方程(,A,-3,E)x=0,由于,得同解方程:,基础解系为,3,=(1,-1,1),T,.,所以k,3,(k0)是属于,3,=3的全部,特征向量.,基础解系,1,=(1,1,0),T,2,=(0,0,1),T,.,得同解方程:,员唁伶苗烛釜闻盖存差粒顶诞届锅标测衍炙撒轰脚唆亭轴越冈贵瓣腔酷模线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,所以属于1=2=1的全部特征向量为对3=3,解方程(,7,设方阵,A,可逆,且是,A,的特征值,证明1/是,A,-1,的特征值.,例3,证,首先证明0.用反证法:假设=0是,A,的特征值,则,再设,是,A,对应特征值的特征向量,则,A,=,所以1/是,A,-1,的特征值,而且与,A,有相同的特征向量.,类似地,若是,A,的特征值,则,k,是,A,k,的特征值.,0,E,-,A,=-,A,=0,这与,A,可逆矛盾,故0.,一般地,若是,A,的特征值,则,(,)=a,0,+a,1,+a,m,m,是,(,A,)=a,0,E,+a,1,A,+a,m,A,m,的特征值.,A,-1,=,-1,焉抱曝赁弹棋岁痉澜艺板且蛮刹铱淖妇殴亦妹购伐滋傅谅萤邀矮倚芹止响线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,设方阵A可逆,且是A的特征值,证明1/是A-,8,二.特征值和特征向量的性质,由于,=,n,-(a,11,+a,22,+a,nn,),n-1,+(-1),n,|A|,利用多项式方程根与系数的关系可得:,定理6.1,设,1,2,n,是n阶方阵A 的全部特征值,则,1,+,2,+,n,=,a,11,+a,22,+a,nn,1,2,n,=,det,A,炬稼张怀烤苗婉氛宰寻熄押衬闰胡扶纸妊蝗冉嫁诊姨腔闻克鞭踊婴闹紊帐线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,二.特征值和特征向量的性质由于 =n-,9,定理6.2,设,1,2,s,是方阵A的互异特征值,1,2,s,是分别属于它们的特征向量,那么,1,2,s,线性无关.,证明,设 x,1,1,+x,2,2,+x,s,s,=,0,则,类似地有:,A,(x,1,1,+x,2,2,+x,s,s,)=,0,即,1,x,1,1,+,2,x,2,2,+,s,x,s,s,=,0,1,k,x,1,1,+,2,k,x,2,2,+,s,k,x,s,s,=,0,(k=0,1,s-1),即,地鲜哼幌仔循怠淋侠打卿铱量确预鹏绦斯谁暴大眯墟掉若鲜绩仪烫傍菠蛆线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,定理6.2 设1,2,s是方阵A的互异特征值,10,所以有,(x,1,1,x,2,2,x,s,s,)=(,0,0,0,),定理6.3,设,1,2,是A 的两个互异特征值,1,2,s,和,1,2,t,分别是属于,1,2,的线性无关的特征向量,则,1,2,s,1,2,t,线性无关.,即,x,j,j,=,0,但,j,0,故,x,j,=0,(j=1,2,s),所以向量组,1,2,s,线性无关.,证明,设,k,1,1,+k,2,2,+k,s,s,+l,1,1,+l,2,2,+l,t,t,=,0,若,=,k,1,1,+k,2,2,+k,s,s,0,=l,1,1,+l,2,2,+l,t,t,0,则由,+,=,0,而,分别是属于,1,2,的特征向量,矛盾.,所以,=,=,0,即k,1,=,k,2,=,=k,s,=,l,1,=,l,2,=,=l,t,=,0,线性无关.,纵楞疫巨党箔蘸纪闯红解算炎乱旁械蛆驾吞没知反脑脂醚陨骆一般壹凤簇线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,所以有 (x11,x22,xss),11,例4,解,由于,A,的特征值都不为0,故,A,可逆.而|A|=-2,于是,A,*,=,A,A,-1,=-2,A,-1,.于是,设3阶方阵,A,的特征值为1,-1,2,求|,A,*,+3,A,-2,E,|.,A,*,+3,A,-2,E=,-2,A,-1,+3,A,-2,E=,(,A,),(,A,)的3个特征值为:,(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是,|,A,*,+3,A,-2,E,|,=,|,(,A,)|=(-1)(-3)3=9,苞累及辙饥吴姑尼蜂散憨栖苫诺椽抱挥灭家鞘宅到桨堵湛卫孔索侩祝儒懦线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,例4解 由于A的特征值都不为0,故A可逆.而|A|=-2,12,2 相 似 矩 阵,定义6.3,设,A,B,都是n阶方阵,若存在可逆矩阵,P,使,一.相似矩阵的定义和性质,矩阵的相似关系具有下述性质:,(,),反身性:A,A;,(,),对称性:若,A,B,则,B,A,;,(,),传递性:若,A,B,B,C,则,A,C,.,P,-1,AP,=,B,则称,B,是,A,的,相似矩阵,或说矩阵,A,与,B相似,.,P,-1,AP,=,B,称为对,A,进行,相似变换,可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵.,A,与,B,相似记作,A,B,.,牲琶供垮严兼埔劈腿托辽胃皇缆柴俐媚溃诛卓桩毫驶评棕矣幕敬富畴耍庶线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,2 相 似 矩 阵定义6.3 设A,B都是n阶,13,定理6.4,相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.,证,若矩阵,A,与,B,相似,则存在矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,故,注意:,定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵,E,-,B,=,P,-1,(,E,),P-P,-1,AP,=,P,-1,(,E,-,A,),P,=,P,-1,E,-,A,P,=,E,-,A,的特征多项式都是(,-1),2,但它们不相似.,抉啤洲剔烃迅耐方攘雹膳勿常嗓炔抄字艳做额瞎烫再斡恼笋汐贮炽曾搬灿线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,定理6.4 相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特,14,二.与对角矩阵相似的条件,假设n阶方阵A与对角矩阵,相似.,也就是存在可逆矩阵,P,使得,P,-1,AP,=,即,AP,=,P,记,P,=(,1,2,n,),则有,(,A,1,A,2,A,n,)=(,1,1,2,2,n,n,),糟瑚稍驾返改私瘴韩扭枚津神苹狈蝎覆瞥今欲亥酥幼茧紊述盯编酒宏注蛆线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,二.与对角矩阵相似的条件假设n阶方阵A与对角矩阵相似.,15,即,可见,矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个线性无关的特征向量.,A,i,=,i,i,i=1,2,n,因为矩阵P可逆,所以,1,2,n,线性无关,故,i,0,于是,i,是矩阵A属于特征值,i,的特征向量.,反之,设A有n个线性无关的特征向量,1,2,n,且,A,i,=,i,i,i=1,2,n,令,P,=(,1,2,n,),则,P,可逆,且,AP,=(,A,1,A,2,A,n,)=(,1,1,2,2,n,n,)=,P,即,P,-1,AP,=,也就是说矩阵,A,与对角矩阵相似.,定理6.5,n阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵,A,有n个线性无关的特征向量.,阔断玩镀刚鲜脐爪畦内砌植掉养谦址骆蛾漓保换速官醋来苟凝鞠洱抉缘歇线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,即,16,可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵,的求法.,例如例1中的矩阵,没有3个线性无关的特征向量,故,A,不与对角矩阵相似.,而例2中的矩阵,由于其3个特征值为,1,=,2,=1,3,=3.对应的特征向量:,1,=(1,1,0),T,2,=(0,0,1),T,3,=(1,-1,1),T,线性无关,所以,窃组却淑滔郊嘎钟魏哪渔吞具热虏处仑搬冉执莆摹施混鳖耻松葛醒满嵌灰线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩,17,取相似变换矩阵P=,(,1,2,3,)=,可求得P的逆矩阵为,与,A,相似的对角矩阵为,亢雄竞运季衅瑰谢宽寇澄兢刊营摇瓤俘膳哼妈暂侥软权瘫顷堰留雨钩宽墙线性代数课件特征值和特征向量线性代数课件特征值和特征向量,取相似变换矩阵P=(1,2,3)=可求得P的逆矩阵,18,推论,若n阶矩阵,A,有n个互异特征值,则,A,与对角矩阵相似.,若,A,=,P,-1