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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019-5-23,谢谢观赏,福建省,高等代数,与,线性代数,课程建设第八次研讨会,实二次型的合同标准形与正交标准形,xxx,莆田学院数学系,福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会,1,谢谢观赏,2019-5-23,实二次型的合同标准形与正交标准形xxx莆田学院数学系福建省,一、二次型的基本问题,（,1,）,（,1,）可被唯一表示为,（,2,）,基本问题：,（,3,）,其中,可逆,2,谢谢观赏,2019-5-23,一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题,常用的实二次型化简,2,）,（,5,）,（,5,）,中 为实二次型的正交标准形,.,1,）,（,4,）,称,（,4,）,为实二次型的合同标准形,.,其中,可逆,为正、负惯性指数,.,3,谢谢观赏,2019-5-23,常用的实二次型化简 2）（5）（5）中,二、目前的教材处理情况,1.,北大教材,1,第五章 二次型,五节内容,基本问题：合同标准形,第九章 欧几里得空间,9.6,实对称矩阵的标准形,基本问题：正交标准形,第十章 双线性函数与辛空间,10.3,双线性函数,将基本知识分散处理于三部分,距离远、联系差,4,谢谢观赏,2019-5-23,二、目前的教材处理情况1.北大教材1第五章 二次型五,2.,张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）,2,第八章 欧氏空间和酉空间,8.4,对称变换和对称矩阵,基本问题：正交标准形,第九章 二次型,9.1-,9.3,基本问题：合同标准形,9.4,主轴问题、正交标准形,福师大所编教材,3,的处理与,2,相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），,3,另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合,1,的较高的起点）,.,5,谢谢观赏,2019-5-23,2.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）2第八章 欧氏,3.,非数学专业教材,两种标准形是紧密出现的,居余马,4,第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化,5.3,实对称矩阵的对角化（正交标准形）,第六章 二次型（主要是实二次型）,同济线性代数,5,第五章 相似矩阵及二次型,5.4,对称矩阵的对角化,5.5,二次型及其标准型,5.6,用配方法化二次型成标准型,5.7,正定二次型,6,谢谢观赏,2019-5-23,3.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的 居余马4第五,中国人大 线性代数,6,第四章 矩阵的特征值,4.4,实对称矩阵的对角化,第五章 二次型,7,谢谢观赏,2019-5-23,中国人大 线性代数6第四章 矩阵的特征值 ,4.,新出版的一些高等代数教材,邱维声,7,第五章 矩阵的相抵分类与相似分类,第六章 二次型、矩阵的合同分类,这样可将正交标准形同时纳入教学内容,8,谢谢观赏,2019-5-23,4.新出版的一些高等代数教材 邱维声7第五章 矩阵的相,姚慕生,8,实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具,.,（见,8,P,246,）,第八章 二次型,8.1,正交相似标准形,8.2,合同标准形,第九章 内积空间,第十章 双线性型,9,谢谢观赏,2019-5-23,姚慕生8 实对称矩阵的正交相似标准型是比,张贤科,9,结构有较大变化，分三部分：,基础内容,多项式 线性代数 线性空间 线性变换,深入内容,第七章 方阵相似标准形与空间分解,第八章 双线性型、二次型与方阵相合,第九章 欧几里德空间与酉空间,选学内容,10,谢谢观赏,2019-5-23,张贤科9结构有较大变化，分三部分：基础内容 多项,三、几点看法,1.,实二次型两种标准形的重要性,数学专业教材,新编教材,非数学专业教材,2007,年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容,.,现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同,.,11,谢谢观赏,2019-5-23,三、几点看法1.实二次型两种标准形的重要性数学专业教材 新,2.,要注重讨论的几何背景,合同标准形可给出二次曲面的仿射分类,9,8.8,二次曲面的仿射分类,定理,8.13,定理,8.13,对 中二次超曲面,记 分别为 的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差；分别为 相应的值,.,则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为,当,当,当,1,）,2,）,3,）,12,谢谢观赏,2019-5-23,2.要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类,9,9.5,二次曲面的正交分解,定理,9.12,定理,9.12,设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为,实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交,变换化此曲面为下列情形之一：,1,）,（当 为 的秩）,2,）,（当 ）,（）,3,）,（当 ）,13,谢谢观赏,2019-5-23,9,9.5 二次曲面的正交分解,定理9.12,3.,要加强对正交矩阵相关性质的教学,运算性质,与正交标准形相关的矩阵分解,结构性质,i),行,(,列,),向量标准基,ii),元素与代数余子式,iii),特征值,14,谢谢观赏,2019-5-23,3.要加强对正交矩阵相关性质的教学 运算性质 与正交标准形,应用,:,i),分解,设,如果,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得,.,（文献,1,第九章 习题,14,）,设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵,使,（文献,1,第九章 习题,20,）,设 证明存在正交矩阵,使 为三角阵的,充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的,.,15,谢谢观赏,2019-5-23,应用:i)分解设,),矩阵偶,(,文献,1,第九章 补充题,10),设,都是实对称矩阵且,是正定的,证明存在实可逆,矩阵,使 与 同时为对角矩阵,.,),正定矩阵的正定平方根,设,是一个正定矩阵,证明存在一个正定矩阵,使得,.,可以证明,是唯一的,因此可记,你能否证明,:,对任意正整数,正定矩阵,有唯一的,次,正定方根 使得,?,正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？,正定矩阵乘积的特征值都是正实数？,16,谢谢观赏,2019-5-23,)矩阵偶(文献1 第九章 补充题10)设,),极分解,（北师大高等代数第四版,9.4,习题）,设 为可逆矩阵,证明存在正定矩阵 和正交,矩阵,使得,.,这种分解是唯一的吗,?,是否有分解形式,?,17,谢谢观赏,2019-5-23,)极分解（北师大高等代数第四版9.4习题）设,),奇异值分解,设 为可逆矩阵,证明存在正交矩阵 和 使,得,当,时,上述分解形式有什么变化,?,称 为 的奇异值,与 的特征值是什么关系,?,18,谢谢观赏,2019-5-23,)奇异值分解设 为可逆矩阵,参考文献：,1,北京大学编,高等代数（第三版）,高等教育出版社,2003,年,.,2,张禾瑞,郝鈵新编,高等代数,(,第四版,),高等教育出版社,1999,年,.,3,陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著,高等代数,(,下,),福建教育出版社,1992,年,.,4,居余马,线性代数,(,第二版,),清华大学出版社,2002,年,.,5,同济大学应用数学系编,线性代数,(,第四版,),高等教育出版社,2003,年,.,6,吴赣昌 主编,线性代数,(,理工类,),中国人民大学出版社,2006,年,.,7,邱维声,高等代数,(,上册,),高等教育出版社,北京,2002,年,.,8,姚慕生,高等代数,(,大学数学学习方法指导丛书,),复旦大学出版社,2002,年,.,9,张贤科,许甫华,高等代数学,(,第二版,),清华大学出版社,2004,年,.,19,谢谢观赏,2019-5-23,参考文献：1 北京大学编,高等代数（第三版）,高等,谢 谢,!,20,谢谢观赏,2019-5-23,谢 谢!20谢谢观赏2019-5-23,
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