线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第7节

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数课件,*,线性代数,11/15/2024,线性代数课件,第五章相似矩阵及二次型,11/15/2024,线性代数课件,11/15/2024,线性代数课件,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标,准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，,显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形,中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为,实变换,，来研究,二次型的标准形所具有的性质,11/15/2024,线性代数课件,11/15/2024,线性代数课件,为,正定二次型,为,负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,11/15/2024,线性代数课件,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,11/15/2024,线性代数课件,必要性,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：,的特征值全为正,11/15/2024,线性代数课件,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：,的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主,子式为负，而偶数阶主子式为正，即,11/15/2024,线性代数课件,正定矩阵具有以下一些简单性质,11/15/2024,线性代数课件,例1,判别二次型,是否正定,.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,11/15/2024,线性代数课件,例2,判别二次型,是否正定.,解,二次型的矩阵为,用,特征值判别法,.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,11/15/2024,线性代数课件,例3,判别二次型,的正定性.,解,11/15/2024,线性代数课件,2.,正定二次型,（,正定矩阵,）的判别方法：,(1),定义法,；,(2),顺次主子式判别法,；,(3),特征值判别法,.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定,矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到,负定二次型,（,负定矩阵,）相应的判别方法，请大,家自己推导,11/15/2024,线性代数课件,思考题,11/15/2024,线性代数课件,思考题解答,11/15/2024,线性代数课件,