《初等函数的性质》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,精选课件ppt,*,初等代数第8讲,初等函数的性质,1,精选课件ppt,一有界性,定义,9,如果存在正数,M,，,对于函数,f,(,x,),的定义域内（或其子集）的一切值，都有,|,f,(,x,)|,M,成立，那么函数,f,(,x,),叫做在定义域内（或其子集）上的有界函数。,图像上的表现,2,精选课件ppt,（P152,例8）,证明下面的命题：,（1）函数,y,=,是有界函数；,（,2,）函数,y,=,是无界函数。,3,精选课件ppt,二单调性,单调性的定义,函数,y=,f,(,x,),在区间,a,b,上单调增，等价于：,1）对任何,x,1,x,2,a,b,(,x,1,x,2,),有(,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)/(,x,2,-,x,1,)0（,差商为正）；,2,）对任何,x,1,x,2,a,b,(,x,1,x,2,),有,(,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)(,x,2,-,x,1,)0,（,变分为正）。,4,精选课件ppt,复合函数、反函数的单调性,定理3 如果函数,y,=,f,(,u,),和函数,u,=,g,(,x,),的增减性相同，则复合函数,y,=,f,g,(,x,),是增函数；,如果函数,y,=,f,(,u,),和函数,u,=,g,(,x,),的增减性相反，则复合函数,y,=,f,g,(,x,),是减函数。,定理4,如果函数,y,=,f,(,x,),是定义在区间,D,上的单调函数，那么在区间,D,上一定有反函数,x,=,f,-1,(,y,),存在，,x,=,f,-1,(,y,),也是单调的，并且它和,y,=,f,(,x,),的增减性相同。,注：定理,4,常用来断定反函数的存在，但是它的条件是充分条件，而非必要条件。,例如分段函数,5,精选课件ppt,课本例题解读,p154,例9,讨论函数,f,(,x,)=,x,+1/,x,的单调性，并作出它的图像。,一般的，诸如,f,(,x,)=,ax+b/x,(,a,b,均不为0）,的单调性、,图像,如何呢？,P157,例10 设,a,1，,讨论函数,y,=a,x2+2x-3,的单调性和有界性。,P157,例,11,已知点,M,(1,2),既在函数,y,=,f,(,x,)=,ax,2,+,b,(,x,0),的图像上，又在其反函数的图像上。,（,1,）求反函数,y,=,f,-1,(,x,),；,a=-1/3,b=7/3,（,2,）,证明,f,-1,(,x,),在其定义域上是减函数。,6,精选课件ppt,补充例1,讨论下列函数的单调区间：,1）,f,(,x,)=-,x,；,2）,f,(,x,)=。,例,2,试求方程,1,x,+2,x,+3,x,+,+9,x,=10,x,的解集中各元素之和的整数部分。,7,精选课件ppt,三、函数的奇偶性,定义,11,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,，,如果对于任意,x,D,，,都有,f,(-,x,)=-,f,(,x,),，,则称,f,(,x,),为奇函数；,如果对于任意,x,D,，,都有,f,(-,x,)=,f,(,x,),，,则称,f,(,x,),为偶函数。,8,精选课件ppt,2奇偶性的判断1）函数运算后的奇偶性,同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶）不变；,奇偶性不同的函数和差后如何？,奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇（偶）函数；,乘除如何？,如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。,9,精选课件ppt,2）复合函数的奇偶性,（1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇函数的充要条件是这些函数都是奇函数。,复合为偶函数的充要条件是这些函数中至少有一个偶函数。,（2）设复合函数,f,2,(,f,1,(,x,),的定义域为,D,，,如果,f,1,(,x,),为偶函数，那么,f,2,(,f,1,(,x,),一定是偶函数。,10,精选课件ppt,3奇偶性运用举例：,例 解方程,(2,x,+9),2005,+,x,2005,+3,x,+9=0。,注意：构造函数,f,(,t,)=,t,2005,+,t,。,则,f(2x+9)=-f(x)=f(-x),x=-3,11,精选课件ppt,四、函数的周期性,定义12：设,f,(,u,),是定义在数集,D,上的函数，如果存在不为0的常数,T,，,对任何,x,D,都有,x,T,D,，,且,f,(,x+T,)=,f,(,x,),总能成立，则称,f,(,x,),为,周期函数。,若,T,为,f,(,u,),的一个周期，则,nT(n,是非零整数）也是,f,(,u,),的一个周期。,最小正周期,如果函数,f,(,x,),具有最小正周期,T,0,，,则,f,(,x,),的任一正周期,T,一定是,T,0,的正整数倍。,12,精选课件ppt,例讲,例1 证明,y=x,是周期函数。,思路：判断周期，然后,加以验证。,例2 用反证法证明函数,y=xcosx,不是周期函数。,证明：假定它是周期函数，令周期为,T，,则由定义，取特殊值，推出矛盾。,练习：判断函数是否周期函数?,1.,f,(,x,)=,sinx,2,2.,f,(,x,)=,xsinx,答：,均不是周期函数,13,精选课件ppt,最小正周期有关问题,例1 证明,y=sinx,的最小正周期是2,。,1：求出全部周期；,2：用反证法说明比2,小的均不为其周期。,例2 设函数,f,(,x,)=,sin,n,x,的最小正周期为,T。,试证：当,n,为奇数时,T=2；,当,n,为偶数时,T=。,14,精选课件ppt,函数经运算、复合后的周期性问题,定理6 设,y=,f,(,x,),是定义在集合,D,上的周期函数，其最小正周期为,T,。,则有,（1）函数,kf,(,x,)+,c,(,k,c,为常数且,k,0),仍然是,D,上的周期函数，且最小正周期仍为,T。,（2）,函数,k/f,(,x,)(,k,为非0常数)是在集合,x,|,f,(,x,)0,x,D,上的周期函数，最小正周期仍为,T。,(3),f,(,ax+b,),是,(,a,0,ax+b,D,),是以,T,/|,a,|,为最小正周期的周期函数。,15,精选课件ppt,复合函数的周期性,定理7 设,u,=,g,(,x,),是定义在集合,D,上的周期函数，其最小正周期为,T,。,如果,f,(,x,),是定义在集合,E,上的函数，且当,x,D,时，,g,(,x,),E，,则复合函数,f,g,(,x,),是集合,D,上以,T,为周期的周期函数。,注意：,f,g,(,x,),和,g(x),的最小正周期未必相同。,一般地说，,f,g,(,x,),的最小正周期不大于,g(x),的最小正周期。,例如,y=cos,2,x,。,16,精选课件ppt,函数运算后的周期性,定理8：函数,f,1,(,x,),f,2,(,x,),都是定义在集合,D,上的周期函数，且周期分别为,T,1,T,2,，,若,T,1,/T,2,为有理数，则它们的和与积,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,)；,f,1,(,x,),f,2,(,x,),也是,D,上的周期函数，,T,1,与,T,2,的公倍数是它们的和与积的一个周期。,f,1,(,x,)-,f,2,(,x,)；,f,1,(,x,)/,f,2,(,x,),也有类似的结论。,17,精选课件ppt,定理8注记,注：1,0,定理8没有肯定,T,的最小性。,如,sin,2,x,和,cos,2,x,。,2,0,定理8的条件是充分的，而不是必要的。,例如，两个非周期函数的和或积也可能是周期函数。,3,0,利用数学归纳法，可把定理8推广到任意有限个函数的情形。,例17 讨论函数,y=cosx+sinx,tg,2,x,/3,的周期性。,18,精选课件ppt,周期函数运算后的周期性,4,0,如果把,f,1,(,x,),与,f,2,(,x,),限定为集合,D,上的连续周期函数，,T,1,和,T,2,分别是它们的最小正周期，,则,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,)；,f,1,(,x,),f,2,(,x,),是周期函数的充要条件,是,T,1,/,T,2,为有理数。,上述必要性证明，用初等方法可证如下命题：,对于正、余弦函数,f,1,(,a,1,x,)=,sina,1,x,或,cosa,1,x,，,f,2,(,a,2,x,)=,sina,2,x,或,cosa,2,x,，,则,f,1,(,a,1,x,),与,f,2,(,a,2,x,),之和、差、积是周期函数的充要条件是,a,1,/,a,2,为有理数。,以,sina,1,x-cosa,2,x,为例。,据此可以判断,sinx+sin,x,是非周期函数。,19,精选课件ppt,关于,最小正周期,在什么条件下，周期函数有最小正周期呢？,定理：“非常数值的连续周期函数一定存在最小正周期”。,该定理还可加强为,“设,f,(,x,),是非常数值的周期函数，假如,f,(,x,),在某点,x,0,是连续的，则,f,(,x,),有最小正周期”。,这在很大程度上解决了最小正周期的存在性问题，但要具体找出最小正周期还无定理为据。,20,精选课件ppt,*,例、判断下述命题是否成立：,“已知,T,1,、,T,2,分别是,f,(,x,),、,g,(,x,),的最小正周期，则,T,1,、,T,2,的最小公倍数是,f,(,x,)+,g,(,x,),的最小正周期”。,21,精选课件ppt,