空间向量的概念及运算

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,复习目标,*,课前演练,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,知识要点,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,典例精讲,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,方法提炼,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,走进高考,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,Copyright 2004-2009,版权所有 盗版必究,新课标高中一轮总复习,第九单元,直线、平面、简单几何体和空间向量,第,63,讲,空间向量的概念及运算,1.,了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,.,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,.,2.,掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量,.,3.,学会借助向量的坐标运算来证明线线垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算,.,1.,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,下列各式中运算的结果为,AC,1,的共有,个,(),(+)+(+)+,(+)+(+)+,D,A.1 B.2,C.3 D.4,2.,已知,O,、,A,、,B,、,C,为空间四点，又 、,、为空间的一个基底，则,(),D,A.,O,、,A,、,B,、,C,四点共线,B.,O,、,A,、,B,、,C,四点共面但不共线,C.,O,、,A,、,B,、,C,四点中有三点共线,D.,O,、,A,、,B,、,C,四点不共面,3.,若,a,=(2,x,1,3),b,=(1,-2,y,9),且,a,b,则,(),C,A.,x,=1,y,=1 B.,x,=,，,y,=-,C.,x,=,y,=-D.,x,=-,，,y,=,因为,a,b,，所以,=,，,所以,x,=,，,y=-.,4.,已知正四面体,ABCD,的棱长为,1,，点,F,、,G,分别是,AD,、,DC,的中点,则,=,.,因为,=(-),所以,=(-),=(-),=(-1),=-.,5.,已知,a,、,b,是空间两向量,:,若,|,a,|=2,|,b,|=2,|,a,-,b,|=,则,cos,a,b,=,.,由,|,a,-,b,|,2,=(,a,-,b,),2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,=2,2,-2,a,b,+2,2,=7.,所以,a,b,=,，,所以,cos,a,，,b,=,a,b,|,a,|,b,|=.,一、空间向量及其加减与数乘运算,1.,空间向量,:,在空间,我们把具有,和,的量叫做向量,空间向量也用,表示,并且,的有向线段表示同一向量或相等的向量,.,2.,空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，,减法与数乘向量为：,=,=,，,=,(,R,).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a,+,b,a,空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：,(1),加法交换律,:,；,(2),加法结合律,:,；,(3),数乘分配律,:,.,二、共线向量与共面向量,1.,如果表示空间向量的有向线段所在的直线,，则这些向量叫做共线向量或平行向量,.,a,平行于,b,记作,a,b,.,a,+,b,=,b,+,a,(,a,+,b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,),(,a,+,b,)=,a,+,b,11,互相平行或重合,2.,共线向量定理：对于空间任意两个向量,a,，,b,(,b,0),a,b,的充要条件是存在实数,使,.,推论：如果直线,l,为经过已知点,A,且平行于已知非零向量,a,的直线，那么对任一点,O,，点,P,在直线,l,上的充要条件是存在实数,t,，满足等式,其中向量,a,叫做直线,l,的方向向量,.,3.,共面向量定理：如果两个向量,a,，,b,不共线，则向量,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件是存在实数对,x,y,使,p,=,.,12,a,=,b,13,=+,ta,14,xa,+,yb,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充要条件是存在有序实数对,x,y,使,=,.,.,三、空间向量基本定理,空间向量基本定理：如果三个向量,a,b,c,不共面,那么对空间任意向量,p,存在一个惟一的有序实数组,x,y,z,使,p,=,.,推论：设,O,、,A,、,B,、,C,是不共面的四点，则对空间任意一点,P,，都存在惟一的有序实数组,x,y,z,使,=,.,15,x,+,y,16,xa,+,yb,+,zc,x,+,y,+,z,17,四、两个向量的数量积,1.,已知空间两个向量,a,b,则,a,b,的数量积为,:,a,b,=,其中,a,b,表示向量,a,，,b,的,其范围为,.,2.,空间向量的数量积有如下性质：,(,e,为单位向量,),(1),a,e,=,;,(2),a,b,;,(3)|,a,|,2,=,;,18,|,a,|,b,|cos,a,b,19,夹角,20,0,，,21,|,a,|cos,a,e,22,ab,=0,23,aa,3.,空间向量满足如下运算律：,(1)(,a,),b,=,；,(2),ab,=,;,(3),a,(,b,+,c,)=,.,24,(,a,b,),25,ba,26,ab,+,ac,题型一 空间向量线性运算及应用,例,1,三棱锥,O,-,ABC,中，,M,、,N,分别是,OA,、,BC,的中点，,G,是,ABC,的重心，用基向量,表示 和,.,要想用已知向量表示未知向量，只需结合图形，力扣基底，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可,.,=+=+,=+(-),=+(+)-=-+.,=+,=-+=+.,用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图形的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等等,.,题型二 空间向量数量积及应用,例,2,已知正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,CD,1,和,DC,1,相交于点,O,连接,AO,求证,:,AO,CD,1,.,因为,=+,=+=+(+),=+=+.,=+=-+,，,所以,=(+)(-+),=-+,+=0.,所以,，即,AO,CD,1,.,（,1,）,利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化成向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明，但要注意“和向量”的方向,.,(2),由本例可以看出利用空间向量证明垂直问题要用到空间向量的加法法则，向量的运算以及数量积和垂直条件，是通过向量的计算来完成位置关系的判定,.,如图所示，已知,ABCD,，从平面,AC,外一点,O,引向量,=,k,=,k,=,k,=,k,求证：,(1),四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,(2),平面,EFGH,平面,ABCD,.,欲证四点共面,只需证明,共面,利用,A,、,B,、,C,、,D,四点共面可证,利用向量的平行可以来证明线线平行,从而证得面面平行,.,(1),因为四边形,ABCD,是平行四边形，,所以,=+,则,EG=OG-OE,=,k,-,k,=,k,=,k,(+),=,k,(-+-),=-+-,=+,所以,E,、,F,、,G,、,H,共面,.,(2),因为,=-,=,k,(-)=,k,又由,(1),的证明知,=,k,于是,EF,AB,EG,AC,所以,EF,平面,ABCD,EG,平面,ABCD,.,又,EF,EG,=,E,所以平面,ABCD,平面,EFGH,.,用向量共面来证明四点共线和用向量共线证明线线平行,从而证明面面平行，是立体几何中常用的向量方法,.,题型三 空间向量基本定理及应用,例,3,如图,在平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,A,1,AB,=,A,1,AD,=,BAD,=60,，,AA,1,=3,AB,=,AD,=2.,(1),求证：,AA,1,BD,；,(2),求,|,；,(3),求,cos,，,.,条件较集中于点,A,处，故可取,为解决问题的基向量,题中各问题中的有关向量,都用基向量来表示,再进行相应运算,.,(1),证明：,因为,=(-),=-,=32cos60-32cos60=0,所以,，即,AA,1,BD,.,(2),|,2,=(+),2,=+2 +2 ,+2 ,=4+4+9+222cos60+223cos60,+223cos60,=33,，,所以,|=.,(3),在,A,1,AB,中，由余弦定理，,得,A,1,B,2,=9+4-223cos60=7,，即,A,1,B,=7.,又,=-,，,所以,=(-),=-,=22cos60-23cos60=-1.,所以,cos ,=,=.,本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明的一般方法，在复习中，应加强这方面的思考,.,如图，直三棱柱,ABC,A,B,C,中,BC,AB,BC,A,C,求证：,AB,=,A,C,.,（证法一）向量基底法,.,=+,=+,，,=+.,因为,BC,AB,，所以,=0,，,即,(+)(+)=0,所以,+=0.,同理，由,BC,AC,可得,+=0.,因为直三棱柱,ABC,A,B,C,所以,=,故,+=0.,+,得,(+)=0.,又,=-,，所以,|,2,=|,2,.,将,=+,两边平方得,=+,，,将,=+,两边平方得,=+,即,=+,所以,=,即,AB,=,A,C,.,(,证法二,),向量坐标法,.,以,AB,所在直线为,x,轴，在平面,ABC,上以过,A,且垂直于,AB,的直线为,y,轴，,AA,所在直线为,z,轴，建立直角坐标系,.,设有关点的坐标为,A,(0,0,0),B,(b,0,0),A,(0,0,a,),C,(,x,y,0),则,B,(,b,0,a,),C,(,x,y,a,).,从而,=(,b,0,a,),=(,x,y,-,a,),=(,x,-,b,y,a,).,因为,所以,(,x,-,b,y,a,)(,b,0,a,)=0,所以,a,2,=,b,2,-,bx,.,同理,由,可得,a,2,=,x,2,-,bx,+,y,2,，,=,a,2,+,b,2,=2,b,2,-,bx,=,x,2,+,y,2,+,a,2,，,代入得,=2,b,2,-,bx,所以,=,，故,|=|,，,即,AB,=,A,C,.,1.,适当选取三个不共面的向量作为基底，把已知条件转化为各个向量间的关系，通过运算得到结果，这就是向量法解立体几何题的重要策略之一：基底法,.,2.,建立适当的坐标系，设出相关点的坐标，表示出相关向量，把已知条件转化为各向量间的关系，通过运算得到结论，这也是向量法求解立体几何题的重要策略：坐标法,.,1.,利用向量解几何问题的基本方法是：把向量或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明,.,关键是基底或坐标系的选取和运算变形能力,.,2.,注意一些常用结论,(1),基本定理：给定空间向量的一个基底,a,b,c,，对于空间任一向量,p,存在惟一的有序实数组,(,x,y,z,),使,p,=,xa,+,yb,+,zc,.,(2),共线、垂直的充要条件,:,a,b,a,=,b,(,b,0),a,b,a,b,=0.,(3),共面的充要条件,:,p,a,b,共面,p,=,xa,+,yb,(,a,/,b,).,(4),长度、夹角公式,:|,a,|=,cos,a,b,=.,a,+,b,+,c,学例,1,(2007,安徽卷,),在四面体,O,-,ABC,中，,=,a,=,b,=,c,D,为,BC,的中点,E,为,AD,的中点,则,=,(,用,