实变函数Lp-空间简介

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 函数空间L,p,简介,本讲目的,：掌握,函数空间L,p,的定义及其重要意义，,重点与难点,：Newton-Leibniz公式的证明。,第一节 Lp-空间简介,第一节 Lp-空间简介,人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数可微或连续函数，但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此根底上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet首先定义了0，1上的平方可积函数空间，即,第一节 Lp-空间简介,随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得到空间 ,考虑这些空间的一个根本思想是，不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现在那么要将这些树木放在起构成一片森林。,第一节 Lp-空间简介,一.空间的定义,我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所谓“距离的定义却不是件简单的是。首先，所定义的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函数 ，可以用 定义它们的距离，但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不适宜的。其次，所定义的距离，必须满足距离的一些最根本的性质。这些性质是什么呢？我们可以通过 中的距离归纳出来，即下面的,第一节,L,p,-空间简介,定义1 设 是一个集合。的函数。满足：,i对任意,ii对任意,iii,对任意,三角不等式。,那么称是A上的距离,是E上的Lebesgue可测函数，,设,且,。,第一节,L,p,-空间简介,对任意 ，显然 仍是E上的可测函数，由于对任意实数 ，有,所以,第一节,L,p,-空间简介,因此不难看出 。,从 的定义，启发我们以下面的方式定义 上的距离：,由上面的讨论，显见对任意 ，有,第一节,L,p,-空间简介,即 上非负的有限函数。它是不是 上的距离呢？为此，设 ，那么得,，,于是 ，进而,由此立得,另一方面，假设,第一节,L,p,-空间简介,那么 ，从 而 。,上述分析说明，并不是 上的距离，但使 的函数必有几乎处处相等的，反之亦然。因此，我们可以将 中几乎处处相等的函数放在一起，从而构成新的集合：,当且仅当,第一节,L,p,-空间简介,对任意 ，定义 不难看到，对任意 ，恒有,故上面的定义是无歧义的，此外，假设 ，那么显然有 。这样，作为 上的函数确实满足距离定义中的i，至于ii那么是显而易见的，所以只需验证它是否满足iii。,第一节,L,p,-空间简介,为方便起见，以后也用 记 ，只要说 那么指的就是与 几乎处处相等的函数类 ，假设,说 那么指的就是单一的函数 。,二。几个重要的不等式,引理1 设 是正数，那么 等式成立当且仅当 ，或 中有一个为0。,第一节,L,p,-空间简介,证明：不妨设 情形可类似证 明，由引理的条件知，于是要证的不等式可写成,即,记 ，那么对任意 ，存在 ，使 ，因 ，所以 ，从而 ，,第一节,L,p,-空间简介,即 。令 ，立得,从证明过程可以看出，等号成立当且仅当 或,或0，证毕。,定理1霍尔德Holder不等式,设 ，满足条件的 称作共轭数，那么,第一节,L,p,-空间简介,且 。1,等式成立当且仅当 与 相差一个常数因子。,证明：假设 中有一个为0，那么1式显然成立事实上，此时1式两边都为0，故不妨 设 均不为0。于是,都不为0，,第一节,L,p,-空间简介,记 那么由引理1，当 ，都不为0时，有,即,第一节,L,p,-空间简介,且等号只有在 即,与 只差一个常数因子时才成立，不等式两边作积分得 ，此即所要的不等式，证毕。,定理2Minkowski不等式,第一节 Lp-空间简介设 ，那么,2,假设 ，那么等号只在 与 相差一个非负常数因子时成立。,证明：当 时，不等式显然成立，,假设 ,那么不等式也是显然的，故不妨,第一节,L,p,-空间简介,设 ，且 ，注意到,时 ，故,其中 是 的共轭数，即 ，于是由Holder不等式得,3,第一节,L,p,-空间简介,类似地，也有,4 将两个不等式相加得,第一节,L,p,-空间简介,两边同除以 立得所要的不等式。,要使2式中的等号成立，必须且只需3、4及 5的第一个不等式成为,等式，而使 3、4成为等式的充要,第一节,L,p,-空间简介,条件是 ，与 都只差一常数因子.由于假设了 从而,，所以 与 只差一常数因子，即存在常数c，使,进而 。要使5中第一个不等式成为等式，必须有,第一节,L,p,-空间简介,这意味着 与 的符号在E上几乎处处相 同，从而由 得,所以 ，证毕。,由定理2不难看到 上的函数 满足三角不等式，即对任意 ，,第一节,L,p,-空间简介,有 。,事实上，,。,综上立知 是 上的距离,对 ，定义,第一节,L,p,-空间简介,那么由距离的定义立得,i ，当且仅当 。,ii对任意 ，。,iii,称满足i、ii、iii的“函数 为 上的范数，称为 的范数，它是 中向量的“模或“长度概念的自然推广。,