G202第二型曲线积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,整理课件,*,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-,旬子,1,整理课件,第,20,章,第一节、第一型曲线积分,第二节、第二型曲线积分,曲线积分,第,20,章,本章内容：,（或称：关于弧长的曲线积分）,（或称：关于坐标的曲线积分）,2,整理课件,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,对弧长的曲线积分（第一型）,对坐标的曲线积分（第二型）,曲面积分,几类积分概况,3,整理课件,第,2,节,一、,第二型曲线积分的定义,二、第二型曲线积分的计算,第二型曲线积分,第,20,章,本节内容：,三、两类曲线积分之间的联系,4,整理课件,一、第二型曲线积分的概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作的功,.,设一质点受如下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“,分割”,“,近似代替”,“,求和”,“,取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法,:,动过程中变力所作的功,W,.,5,整理课件,1),“,分割”,-,大化小,.,2),“,近似代替”,-,常代变,.,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,6,整理课件,3),“,求和”,-,近似和,.,4),“,取极限,”,其中,7,整理课件,2.,定义,.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的,任意分割,和在局部弧段上,任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,第二型曲线积分,则称此极限为函数,或对,坐标的曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,8,整理课件,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲线积分,;,称为对,y,的曲线积分,.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,9,整理课件,1).,组合形式,2).,物理意义,10,整理课件,3.,性质,(1),若,L,可分成,k,条首尾相接的有向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,的反向弧,则,且,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,存在,则,(3),线性性,(,略,!),11,整理课件,二、第二型曲线积分的计算法,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。,证明,:,下面先证,12,整理课件,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为,L,为光滑弧,同理可证,13,整理课件,特别地,如果,L,的方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,14,整理课件,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为积分变量,则,解法,2,取,y,为积分变量,则,从点,的一段,.,15,整理课件,例,2.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,16,整理课件,例,3.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,17,整理课件,例,4.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,解,:,18,整理课件,例,5.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取,的参数方程,19,整理课件,例,6.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,20,整理课件,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,21,整理课件,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,令,记,A,在,t,上的投影为,22,整理课件,例,1,23,整理课件,例,2.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,24,整理课件,二者夹角为,例,3.,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,续,证,:,设,说明,:,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分,.,在,L,上连,25,整理课件,作业,P208 1,(1),(3),(5),;,3;4;,26,整理课件,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,27,整理课件,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,28,整理课件,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,29,整理课件,原点,O,的距离成正比,备用题,1,.,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示,:,F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,思考,:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,30,整理课件,方程为,2.,31,整理课件,3.,计算,其中,L,为折线,OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2),解：,32,整理课件,4.,解,:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到,xoy,面的距离成反比,.,沿直,求,F,所作的功,W,.,已知,F,的方向指,一质点在力场,F,作用下由点,33,整理课件,5.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,ox,轴正向,(1),写出曲线,C,的参数方程,;,(2),计算曲线积分,解,:,(1),看去为逆时针方向,.,34,整理课件,(2),原式,=,令,利用“偶倍奇零”,35,整理课件,