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第十二章,概率,12,.,1,随机事件的概率,知识梳理,考点自测,1,.,事件的分类,可能发生也可能不发生,知识梳理,考点自测,2,.,频率与概率,(1),频率的概念,:,在相同的条件,S,下重复,n,次试验,观察某一事件,A,是否出现,称,n,次试验中事件,A,出现的次数,n,A,为事件,A,出现的,称事件,A,出现的比例,为事件,A,出现的,.,(2),随机事件概率的定义,:,在,的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件,A,发生的,会在某个,附近摆动,即随机事件,A,发生的频率具有稳定性,.,这时这个,叫做随机事件,A,的概率,记作,P,(,A,),有,0,P,(,A,),1,.,(3),概率与频率的关系,:,对于给定的随机事件,A,由于事件,A,发生的频率,f,n,(,A,),随着试验次数的增加稳定于概率,P,(,A,),因此可以用,来估计概率,P,(,A,),.,频数,频率,相同,频率,常数,常数,频率,f,n,(,A,),知识梳理,考点自测,3,.,事件的关系与运算,发生,一定发生,B,A,(,或,A,B,),A,B,A=B,当且仅当事件,A,发生或事件,B,发生,A,B,(,或,A+B,),知识梳理,考点自测,当且仅当事件,A,发生且事件,B,发生,A,B,(,或,AB,),不可能,A,B=,不可能,必然事件,A,B=,且,A,B=,知识梳理,考点自测,4,.,互斥事件与对立事件的关系,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,.,5,.,概率的几个基本性质,(1),概率的取值范围,:,.,(2),必然事件的概率,:,P,(,A,),=,.,(3),不可能事件的概率,:,P,(,A,),=,.,(4),概率的加法公式,:,若事件,A,与事件,B,互斥,则,P,(,A,B,),=,.,(5),对立事件的概率,:,若事件,A,与事件,B,互为对立事件,则,A,B,为必然事件,.P,(,A,B,),=,P,(,A,),=,.,0,P,(,A,),1,1,0,1,1,-P,(,B,),P,(,A,),+P,(,B,),知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1,.,判断下列结论是否正确,正确的画,“,”,错误的画,“,”,.,(1),事件发生的频率与概率是相同的,.,(,),(2),随机事件和随机试验是一回事,.,(,),(3),在大量重复试验中,概率是频率的稳定值,.,(,),(4),两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生,.,(,),(5),若,A,B,为互斥事件,则,P,(,A,),+P,(,B,),=,1,.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2,.,设甲,:,A,1,A,2,是互斥事件,;,乙,:,A,1,A,2,是对立事件,则,(,),A.,甲是乙的充分不必要条件,B.,甲是乙的必要不充分条件,C.,甲是乙的充要条件,D.,甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件,答案,解析,解析,关闭,互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件,.,答案,解析,关闭,B,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3,.,下列说法,:,频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小,;,做,n,次随机试验,事件,A,发生,m,次,则事件,A,发生的频率,就是事件,A,发生的概率,;,百分率是频率,但不是概率,;,频率是不能脱离,n,次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,;,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,.,其中正确的是,(,),A.,B.,C.,D.,答案,解析,解析,关闭,由概率的相关定义知,正确,.,答案,解析,关闭,B,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5,.,某射手在同一条件下进行射击,结果如下,:,这个射手射击一次,击中靶心的概率约是,.,答案,解析,解析,关闭,击中靶心的频率依次为,0,.,8,0,.,95,0,.,88,0,.,92,0,.,89,0,.,91,易知击中靶心的频率在,0,.,90,附近摆动,故,P,(,A,)0,.,90,.,答案,解析,关闭,0,.,90,考点,1,考点,2,考点,3,例,1,一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字,1,2,3,4,5,6,.,将这个玩具向上抛掷,1,次,设事件,A,表示向上的一面出现奇数,事件,B,表示向上的一面出现的数字不超过,3,事件,C,表示向上的一面出现的数字不小于,4,则,(,),A.,A,与,B,是互斥而非对立事件,B.,A,与,B,是对立事件,C.,B,与,C,是互斥而非对立事件,D.,B,与,C,是对立事件,答案,解析,解析,关闭,根据互斥事件与对立事件的定义作答,A,B=,出现点数,1,或,3,事件,A,B,不互斥更不对立,;,B,C=,B,C=,(,为必然事件,),故事件,B,与,C,是对立事件,.,答案,解析,关闭,D,考点,1,考点,2,考点,3,思考,如何判断随机事件之间的关系,?,解题心得,判断随机事件之间的关系有两种方法,:(1),紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断,;(2),类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系,.,由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥,;,事件,A,的对立事件,所含的结果组成的集合,是全集中由事件,A,所含的结果组成的集合的补集,.,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,1,从装有,5,个红球和,3,个白球的口袋内任取,3,个球,则互斥而不对立的事件有,.,(,填序号,),至少有一个红球,都是红球,;,至少有一个红球,都是白球,;,至少有一个红球,至少有一个白球,;,恰有一个红球,恰有两个红球,.,答案,解析,解析,关闭,由互斥事件与对立事件的关系及定义知,不互斥,对立,不互斥,互斥不对立,.,答案,解析,关闭,考点,1,考点,2,考点,3,例,2,某险种的基本保费为,a,(,单位,:,元,),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下,:,随机调查了该险种的,200,名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表,:,考点,1,考点,2,考点,3,(1),记,A,为事件,:“,一续保人本年度的保费不高于基本保费,”,求,P,(,A,),的估计值,;,(2),记,B,为事件,:“,一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的,160%”,.,求,P,(,B,),的估计值,;,(3),求续保人本年度平均保费的估计值,.,考点,1,考点,2,考点,3,(3),由所给数据得,调查的,200,名续保人的平均保费为,0,.,85,a,0,.,30,+a,0,.,25,+,1,.,25,a,0,.,15,+,1,.,5,a,0,.,15,+,1,.,75,a,0,.,10,+,2,a,0,.,05,=,1,.,192 5,a.,因此,续保人本年度平均保费的估计值为,1,.,192 5,a.,考点,1,考点,2,考点,3,思考,随机事件的频率与概率有怎样的关系,?,如何求随机事件的概率,?,解题心得,1,.,概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,.,当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率,.,2,.,求解随机事件的概率的常用方法有两种,:(1),可用频率来估计概率,.,(2),利用随机事件,A,包含的基本事件数除以基本事件总数,.,计算的方法有,:,列表法,;,列举法,;,树状图法,.,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,2,(2017,浙江绍兴模拟,),如图所示,A,地到火车站共有两条路径,L,1,和,L,2,现随机抽取,100,位从,A,地到达火车站的人进行调查,调查结果如下,:,考点,1,考点,2,考点,3,(1),试估计,40,分,钟,内不能赶到火车站的概率,;,(2),分别求通过路径,L,1,和,L,2,所用时间落在上表中各时间段内的频率,;,(3),现甲、乙两人分别有,40,分,钟,和,50,分,钟,时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径,.,考点,1,考点,2,考点,3,解,:,(1),由已知共调查了,100,人,其中,40,分,钟,内不能赶到火车站的有,12,+,12,+,16,+,4,=,44,人,.,(2),选择,L,1,的有,60,人,选择,L,2,的有,40,人,故由调查结果得频率如下表,.,考点,1,考点,2,考点,3,(3),A,1,A,2,分别表示甲选择,L,1,和,L,2,时,在,40,分,钟,内赶到火车站,;,B,1,B,2,分别表示乙选择,L,1,和,L,2,时,在,50,分,钟,内赶到火车站,.,由,(2),得,P,(,A,1,),=,0,.,1,+,0,.,2,+,0,.,3,=,0,.,6,P,(,A,2,),=,0,.,1,+,0,.,4,=,0,.,5,P,(,A,1,),P,(,A,2,),故甲应选择,L,1,;,P,(,B,1,),=,0,.,1,+,0,.,2,+,0,.,3,+,0,.,2,=,0,.,8,P,(,B,2,),=,0,.,1,+,0,.,4,+,0,.,4,=,0,.,9,P,(,B,2,),P,(,B,1,),故乙应选择,L,2,.,考点,1,考点,2,考点,3,例,3,(2017,河南洛阳模拟,),经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下,:,求,:(1),至多,2,人排队等候的概率是多少,?,(2),至少,3,人排队等候的概率是多少,?,答案,答案,关闭,记,“0,人排队等候,”,为事件,A,“1,人排队等候,”,为事件,B,“2,人排队等候,”,为事件,C,“3,人排队等候,”,为事件,D,“4,人排队等候,”,为事件,E,“5,人及,5,人以上排队等候,”,为事件,F,则事件,A,B,C,D,E,F,彼此互斥,.,(1),记,“,至多,2,人排队等候,”,为事件,G,则,G=A,B,C,所以,P,(,G,),=P,(,A,B,C,),=P,(,A,),+P,(,B,),+P,(,C,),=,0,.,1,+,0,.,16,+,0,.,3,=,0,.,56,.,(2)(,方法一,),记,“,至少,3,人排队等候,”,为事件,H,则,H=D,E,F,所以,P,(,H,),=P,(,D,E,F,),=P,(,D,),+P,(,E,),+P,(,F,),=,0,.,3,+,0,.,1,+,0,.,04,=,0,.,44,.,(,方法二,),记,“,至少,3,人排队等候,”,为事件,H,则其对立事件为事件,G,所以,P,(,H,),=,1,-P,(,G,),=,0,.,44,.,考点,1,考点,2,考点,3,思考,求互斥事件的概率的一般方法有哪些,?,解题心得,求互斥事件的概率一般有两种方法,:,(1),公式法,:,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算,;,(2),间接法,:,先求此事件的对立事件的概率,再用公式,P,(,A,),=,1,-P,(),求出所求概率,特别是,“,至多,”“,至少,”,型题目,用间接求法就较简便,.,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,3,某商场有奖销售中,购满,100,元商品得,1,张奖券,多购多得,.,1 000,张奖券为一个开奖单位,设特等奖,1,个,一等奖,10,个,二等奖,50,个,.,设,1,张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为,A,B,C,求,:,(1),P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,);,(2)1,张奖券的中奖概率,;,(3)1,张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率,.,答案,答案,关闭,考点,1,考点,2,考点,3,1,.,对于给定的随机事件
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