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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章：线弹性断裂力学,断裂模式及对称性分析,三型裂纹裂尖场的渐近解,复变函数（回顾）,三型裂纹裂尖场的解,应力强度因子,K,K-G,关系,计算,K,的常用方法,讨论,反平面剪切问题（一个相对简单的问题）,整理可得调和方程（或由,Navier,方程直接简化）,渐近解,为什么有如此渐近的形式？,M.L.Williams.On the stress distribution at the base of a stationary crack.,Journal of Applied Mechanics,24,109-115(1957).,分离变量法,George Rankine Irwin,G.R.Irwin.Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate.,Journal of Applied Mechanics,24,361-364(1957).,应力强度因子,K,I,II,III,与,G,之间的关系,G,与裂纹延伸时,能量的变化,有关,K,I,II,III,仅与,裂纹尖端区域的场强度,有关,K,I,II,III,与,G,之间的关系,?,首先假设固定位移加载,针对,III,型裂纹,B,A,针对,I,、,II,、,III,型裂纹,如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？,【,作业题,3-5,】,复合型裂纹,可由能量平衡来理解,逐渐放松保持力过程,这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。,裂纹扩展,能量释放率和应力强度因子关系是假定,裂纹呈直线延伸,下得到的。,在,II,型和,III,型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，,裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为,I,型断裂占优的路径。,此外，,I,型断裂最为危险。,平面应变断裂韧性：,实验测量应力强度因子,电测法,光弹法,热弹性法（,Thermoelastic Method,）,数字图像相关（,Digital image correlation,）,裂尖应变,裂尖温度场,裂尖位移场,裂尖主应力,基于应力强度因子的断裂准则,K,IC,材料的断裂韧性（,Fracture toughness,）,实验测量,K,IC,ASTM,C,ompact tension(CT),Single edge notch bend(SENB),平面应变,C,rack mouth opening displacement(CMOD),此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：,Westergaard,应力函数法（,Westergaard stress function,）,权函数法（,Weight function,）,线性叠加法（,Principle of superposition,）,应力强度因子求解,应力强度因子的计算：,Westergaard,应力函数法（,Westergaard stress function,）,之前的解析函数构造时只关心裂尖处的,渐近场,及边界条件，,Westergaard,应力函数方法将满足所有边界，并能给出,全场解。,I,、,II,型裂纹,应力函数,应力场,位移场,Westergaard,应力函数法（,Westergaard stress function,）,在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数,j,(,z,),和,y,(,z,),，其实在对称和反对称特例下，可利用,Westergaard,函数进一步简化为一个解析函数的求解。,以,I,型问题为例：,利用了对称性,A,为实常数,解析延拓（定义见下页）：,I,型裂纹的,Westergaard,应力函数：,用,Westergaard,应力函数表示应力、位移,应力场,位移场,当,x,2,=0,时剪应力为零，这意味着,裂纹面是主平面,。,I,型裂纹,例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板,是,Z,I,(,z,),两个枝点，可猜测,无穷远处的边界条件：,自由裂纹表面：,【,作业题,3-6,】,双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同,一旦,Westergaard,函数已知，便可知道全场解,转换坐标到裂尖,I,型裂纹：,应力场,位移场,裂纹面上,还可用,Westergaard,函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见,Koiter,，,1959,的工作）。,如何猜测,Westergaard,函数？,【,题,3-7,】,对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利用,Westergaard,函数证明裂尖应力强度因子。,共行裂纹的交互作用为,加强各自的应力强度因子,，而共列裂纹则起,相互屏蔽作用,。,II,裂纹的,Westergaard,应力函数,裂纹面上,应力场,位移场,II,型中心裂纹承受远场均匀剪切,III,型,裂纹的复变函数表示方法,应力场,位移场,III,型中心裂纹承受远场均匀剪切,为了统一,根据边界条件猜测,Westergaard,函数,边界条件,裂纹面,无穷远,III,型裂纹面上承受集中力,附：复变函数的性质,III,型半无限场裂纹面上承受集中力,权函数法,顾名思义，加权累加，所以要求线弹性,Bueckner,H.F.,“A Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.”,Zeitschrift f r,Angewandte Mathematik und Mechanik,Vol.50,1970,pp.529545.,Rice,J.R.,“Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.”,International Journal of Solids and Structures,Vol.8,1972,pp.751758.,James R.Rice,为什么用机械总势能？（勒让德变换来改变变量）,把上述想法连续化，可得如下求解步骤：,（,1,）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解,权函数定义为,（,2,）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子,不需要知道权函数的全场值，只需计算与,t,a,、,f,a,载荷功共轭的部分权函数的分布值。,（,3,）该载荷下的位移场满足,权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！,左端还是右端的应力强度因子？,【,题,3-8,】,如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）,无限长裂纹,半无限长裂纹,Green,函数,权函数方法也可用于三维裂纹,线性叠加法,对于,线弹性材料,，只要,断裂模式是一致的,，应力强度因子也可以叠加。,已知,b,、,c,的应力强度因子，如何求,a,的强度因子？,线性叠加法,思考题？,讨 论,渐近解,与,全场解,的比较,渐近解,全场解,K,主导区域,坐标在裂纹中心,l,为最小的特征尺度,小 结（二）,K,与,G,之间的关系,求解,K,的方法,Westergaard,函数法、权函数法、线性叠加法,讨论关于渐近解与全场解的比较,作 业 题,【,作业题,3-5,】,：仿照讲义中,III,型裂纹,K,III,与,G,之间的推导，独立推导,I,、,II,型裂纹,K,I,、,K,II,与,G,之间的关系。,（,1,）给出,A,图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；,（,2,）给出,B,图中裂尖上下表面的位移差表示；,（,3,）代入如下公式计算,K,I,、,K,II,与,G,之间的关系。,A,B,作 业 题,【,作业题,3-6,】,：如图所示，一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸，水平和竖直方向的远场应力分别为,s,1,和,s,2,。验证如下的,Westergaard,函数满足所有边界条件（包括裂纹表面及无穷远处）。,作 业 题,【,题,3-7,】,对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？利用如下给定的,Westergaard,函数证明裂尖应力强度因子的表示式。尝试猜测,II,型周期裂纹的,Westergaard,函数，并得出其裂尖应力强度因子。,【,题,3-8,】,如何计算左端的应力强度因子？（用图中坐标系表达）,作 业 题,【,题,3-9,】,利用权函数方法求解如图所示的裂纹,A,和,B,端的应力强度因子。,作 业 题,A,B,【,题,3-10,】,如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的应力强度因子,K,I,和,K,II,。当,s,1,=,s,2,时，,K,I,和,K,II,退化为什么？,作 业 题,
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