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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十二章 不等式选讲,知识点,考纲下载,考情上线,绝对值不等式,理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：,(1)|,a,b,|,|,a,|,|,b,|.,(2)|,a,b,|,|,a,c,|,|,c,b,|.,会用不等式,(1),、,(2),证明一些简单问题,.,2.,会利用绝对值的几何意义求解以下类型,的不等式：,|,ax,b,|,c,，,|,ax,b,|,c,，,|,x,a,|,|,x,b,|,c,.,热点是在客观题中考查绝对值不等式解法与含绝对值号的函数的最值，恒成立问题,.,知识点,考纲下载,考情上线,不等式证明,了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,.,考查简单不等式的证明，多用比较法、综合法、分析法,.,第一节 绝对值不等式,一、绝对值三角不等式,1.,定理,1,：如果,a,，,b,是实数，则,|,a,b,|,，当且仅,当,时，等号成立,.,|,a,|,|,b,|,ab,0,(1),绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？,(2),不等式,|,a,|,|,b,|,a,b,|,a,|,|,b,|,中,“,”,成立的条件分别是什么？,提示：,(1),当,a,，,b,不共线时，,|,a,b,|,a,|,|,b,|,，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边,.,(2),不等式,|a|,|,b|a,b|a,|,|b|,，右侧,“,”,成立的条件是,ab0,，左侧,“,”,成立的条件是,ab0,且,|,a|b,|,；不等式,|a|,|,b|a,b|a,|,|b|,，右侧,“,”,成立的条件是,ab0,，左侧,“,”,成立的条件是,ab0,且,|,a|b,|.,2.,定理,2,：如果,a,，,b,，,c,是实数，则,|a,c|,，当且仅当,时，,等号成立,.,|a,b|,|b,c|,(a,b)(b,c)0,二、绝对值不等式的解法,1.,含绝对值的不等式,|x|a,的解集,不等式,a,0,a,0,a,0,|,x,|,a,a,x,a,x,a,或,x,0),和,|ax,b|c(c,0),型不等式的解法,(1)|ax,b|c,.,(2)|ax,b|c,.,cax,bc,ax,bc,或,ax,b,c,3.|x,a|,|x,b|c(c,0),和,|x,a|,|x,b|c(c,0),型不等式,的解法,方法一：,利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形,结合的思想,.,方法二：,利用,“,零点分段法,”,求解，体现了分类讨论的思想；,方法三：,通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函,数与方程的思想,.,1,已知,2,a,3,，,3,b,4,，则,a,|,b,|,的取值范围是,(,),A,(,6,3),B,(,6,3,C,(,6,6)D,(,6,6,解析：,3,b,4,0|,b,|4,a,|,b,|,(,6,3.,答案：,B,2,不等式,|5,x,x,2,|6,的解集为,(,),A,(,1,2)B,(3,6),C,(,1,2)(3,6 D,(,1,2)(3,6),答案：,D,解析：,|5,x,x,2,|6,1,x,2,或,3,x,6.,3,不等式,|2,x,1|,x,1,的解集是,(,),A,(0,2)B,(0,2,C,(,2,0)D,(,2,0,解析：,|2,x,1|,x,1,(,x,1)2,x,1,x,1,，即,0,x,2.,答案：,A,4,函数,y,|,x,1|,|,x,2|,的最小值及取得最小值时,x,的,值分别是,_,、,_.,解析：,|,x,1|,|,x,2|3,，当且仅当,x,1,2,时，,y,取最小,答案：,3,x,1,2,5,已知不等式,|2,x,t,|,t,10,的解集为,(),，,则,t,_.,解析：,|2,x,t,|1,t,，,t,12,x,t,1,t,，,2,t,12,x,1,，,t,x,.,t,0.,答案：,0,6,已知不等式,2,|,x,3|,|,x,4|,2,a,.,(1),若,a,1,，求,x,的取值范围；,(2),若已知不等式解集不是空集，求,a,的取值范围,解：,(1)2,|,x,3|,|,x,4|,2,，,|,x,3|,|,x,4|1.,1,对绝对值三角不等式定理,|,a,|,|,b,|,a,b,|,a,|,|,b,|,中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的,最值时,2,该定理可以强化为：,|,a,|,|,b,|,a,b,|,a,|,|,b,|,，它,经常,用于证明含绝对值的不等式,3,对于,y,|,x,a,|,|,x,b,|,或,y,|,x,a,|,|,x,b,|,型的最值求,法利用该不等式更简洁、方便,“|,x,a,|,m,，且,|,y,a,|,m,”,是,“,|,x,y,|2,m,”(,x,，,y,，,a,，,m,R,),的,_(,填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件,),利用绝对值三角不等式，推证,与,|,x-y,|2m,的关系即得答案,.,解析：,|,x,y,|,|(,x,a,),(,y,a,)|,x,a,|,|,y,a,|,m,m,2,m,，,|,x,a,|,m,，且,|,y,a,|,m,是,|,x,y,|2,m,的充分条件,取,x,3,，,y,1,，,a,2,，,m,2.5,，则有,|,x,y,|,25,2,m,，但,|,x,a,|,5,，,不满足,|,x,a,|,m,2.5,，,故,|,x,a,|,m,且,|,y,a,|,m,不是,|,x,y,|,P,M,.,答案：,N,P,M,绝对值不等式的常见类型及其解法,(1),形如,|,f,(,x,)|,a,，,|,f,(,x,)|,a,(,a,R,),型不等式,此类不等式的简单解法是等价命题法，即,当,a,0,时，,|,f,(,x,)|,a,a,f,(,x,),a,.,|,f,(,x,)|,a,f,(,x,),a,或,f,(,x,),a,.,当,a,0,时，,|,f,(,x,)|,a,f,(,x,)0.,当,a,0,时，,|,f,(,x,)|,a,f,(,x,),有意义,(2),含有两个绝对值的不等式的解法,零点分段法,零点分段法解绝对值不等式的步骤：,a.,求零点；,b.,划分区,间、去绝对值号；,c.,分别解去掉绝对值的不等式；,d.,取每,个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值,注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做,到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了,与前提条件求交集,利用,|,x,a,1,|,x,a,2,|,的几何意义,利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点,x,到两个,定点,a,1,、,a,2,的距离之和,(,差,),解下列不等式,(1)|2,x,5|7,x,；,(2)|,x,1|,|,x,2|7,x,，可得,解得,x,2,或,x,4.,原不等式的解集是,x,|,x,2,（,2,）,分别求,|,x,1|,，,|,x,2|,的零点，即,1,，,2.,由,2,1,把数轴分成三部分：,x,1.,当,x,2,时，原不等式即,1,x,2,x,5,，解得,3,x,2,；,当,2,x,1,时，原不等式即,1,x,2,x,5,，,因为,31,时，原不等式即,x,1,2,x,5,，解得,1,x,2.,综上，原不等式的解集为,x,|,3,x,2,2,若关于,x,的不等式,|,x,2|,|,x,1|,a,的解集为,，求实数,a,的取值范围,解：,令,y,1,|,x,2|,|,x,1|,，,y,2,a,.,y,1,、,y,2,的图象如图所示：,由图可知，当,a,3,时，,|x+2|+|x-1|,a,的解集为,.,绝对值不等式的证明主要有两类：,一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项,二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题,已知,f,(,x,),，,a,b,，求证：,|,f,(,a,),f,(,b,)|,|,a,b,|.,利用绝对值不等式放缩证明,.,证明：,3,已知二次函数,f,(,x,),x,2,ax,b,(,a,，,b,R,),的定义域为,1,1,，且,|,f,(,x,)|,的最大值为,M,.,(1),试证明,|1,b,|,M,；,(2),试证明,证明：,(1),M,|,f,(,1)|,|1,a,b,|,，,M,|,f,(1)|,|1,a,b,|,，,2,M,|1,a,b,|,|1,a,b,|(1,a,b,),(1,a,b,)|,2|1,b,|,，,|1,b,|,M,.,(2),依题意，,M,|,f,(,1)|,，,M,|,f,(0)|,，,M,|,f,(1)|,，,又,|,f,(,1)|,|1,a,b,|,，,|,f,(1)|,|1,a,b,|,，,|,f,(0)|,|,b,|,，,4,M,|,f,(,1)|,2|,f,(0)|,|,f,(1)|,|1,a,b,|,2|,b,|,|1,a,b,|(1,a,b,),2,b,(1,a,b,)|,2,，,M,绝对值不等式是对必修,5,中“不等式”的补充和深化,其解法与证明是考查的重点，若单独命题，多以填空题形式出现，也可与其他知识结合考查解答题,.,如,2009,年福建,21,题，,2009,年辽宁,24,题，,2009,年宁夏、海南,24,题都考查了绝对值不等式的解法,.,(2009,山东高考,),不等式,|2,x,1|,|,x,2|,0,的解集,_,解析,|2,x,1|,|,x,2|,0|2,x,1|,|,x,2|(2,x,1)2,(,x,2),2,4,x,2,4,x,1,x,2,4,x,43,x,2,3,1,x,1.,答案,x,|,1,x,1,解绝对值不等式常用公式法、平方法、零点分段法等方法，在解题时应根据不等式的结构特点进行选择，如本题中可采用零点分段法，但较繁琐同学们考虑一下，不等式,|2,x,1|,|,x,2|1,如何求解？,
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