异面直线所成的角课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,异面直线所成的角,付素茹 2006.2.23,异面直线所成的角付素茹 2006.2.23,1,复习：异面直线的定义及其含义是什么？,等角定理及其推论？,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.,异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.,复习：异面直线的定义及其含义是什么？如果两条相交直线和另两条,2,b,a,b,a,o,作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有关吗?,根据空间等角定理的推论,作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取,无关,引例:,如何定量研究两条,异面直线所成的角?,bab a o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有,3,b,a,b,a,o,b,a,b,a,o,bab a obab a o,4,定义,直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a,，b,使a,/a,b,/b,把a,和b,所成的锐角或直角记作异面直线a和b所成的角,异面直线所成角的范围是(0,90,定义直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a，,5,定义:,如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.,异面直线a与b互相垂直,记作a,b,b,a,a,思考：空间两直线垂直有几种情况?,相交,垂直,异面,垂直,定义:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相,6,1.求异面直线BA,与CC,所成的角的大小；,2.求异面直线AD,与A,C,所成的角的大小；,3.求异面直线AD,与B,C所成的角的大小；,4.求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值；,A,B,C,D,A,B,C,D,例1.,设正方体的棱长为a，P,Q为A,B,和B,C,的中点，,求,：,1.求异面直线BA与CC所成的角的大小；ABCDA B,7,正方体的棱长为a，P,Q为A,B,和B,C,的中点.,A,B,C,D,A,B,C,D,P,Q,M,(4)求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值,正方体的棱长为a，P,Q为AB和BC的中点.ABC,8,(4)解:,取,D,C,的中点M,（作出）,连结,MC,MQ,PM,A,B,C,D,A,B,C,D,P,Q,M,所以,CM,和,CQ,所成的锐角（或直角),是异面直线,BP,和,CQ,所成的角.,(指出),由,PB,MC,，,四边形,PMC,B,为平行四边形,/,=,所以PM B,C,，BC B,C,所以四边形PMCB为平行四边形,/,=,/,=,所以证得,CM BP,（证明）,/,=,(4)解:取DC的中点M,（作出）ABCDA B,9,（答,）,在,MCQ中由余弦 定理得 COS,MCQ=,所以异面直线,BP,和,CQ,所成的角为arc cos,M,A,B,C,D,A,B,C,D,P,Q,MQ=,Rt,MC,Q，,（计算）,Rt,MC,C和 Rt,QC,C中,CM=CQ=,（答）在MCQ中由余弦 定理得 COS,10,例2.,空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M,N分别为AB,CD的中点，且MN=7.求异面直线AC和BD所成的角的大小。,K,A,B,C,D,M,N,取AD的中点K，,连结MK，NK,（作出,）,解：,例2.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M,11,有,NK,=,AC,=5,MK,=,BD,=3，,在,MNK中,MN=7,K,A,B,C,D,M,N,所以,NK,和,MK,所成的锐角（或直角),是异面直线,AC,和,BD,所成的角.,(指出),NK,/,AC,MK,/,BD,(证明),NK,=,AC,MK,=,BD,则,有NK=AC=5,在MNK中,MN=7KABCDM,12,A,B,C,D,M,N,K,所以异面直线,AC,和,BD,所成的角为60,（答,）,或：,由余弦定理,得:COS,MKN=,=-,MKN=120,，因为0,90,，,所以,=60,由余弦定理,得:COS,=|COS,MKN|,=|,=,（计算）,所以,=60,，(0,90,),ABCDMNK所以异面直线AC和BD所成的角为60（答）,13,小结：,1.求异面直线的步骤：,一作，二证，三指,四计算,五答,在空间内找到一个恰当的点O,通过,平移直线,作出,异面直线所成的角,把空间,异面直线,所成的角，转化为,平面内,相交直线所成的,锐角或直角,2.关键：,3.,解,Rt,或斜三角形,用余弦定理求角时,注意,异面直线,所成的角范围是,(,0,90,小结：1.求异面直线的步骤：在空间内,14,小结：,三种平移方法:,1.,直接,平移法,2.,中位线平移法,平移一条直线,平移二条直线,在已一个相同的几何体,以便找出平行线,例如,长方体的棱平行,或找平行的平面 平行线,3.,补形平移法,小结：三种平移方法:1.直接平移法2.中位线平移法平移一条,15,平移时,一般在某个平面内进行,这个平面的具有以下特点:,1.该平面,包含,其中一条异面直线,2.该平面与另一条异面直线,相交,3.经常利用中点,中位线,或经常利用比例,平行线,或用平行四边形,平行线,平移时,一般在某个平面内进行,1.该平面包含其中一条异面直线,16,四面体ABCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中点，,（1）求异面直线,CF,和,BD,所成的角的余弦值。,（2）求,CF,与,DE,所成的角。,思考题,A,B,C,D,E,F,P,Q,四面体ABCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中,17,A,B,C,D,E,F,M,2)求,CF,与,DE,所成的角,方法1,延长AC到M，使CM=AC，连结EM则DM/CF,则,DE与DM,所成的锐角或直角是异面直线,DE与CF,所成的角,ABCDEFM2)求CF与DE所成的角方法1延长AC到M，使,18,A,B,C,D,E,G,F,2）求,CF,与,DE,所成的角。,方法2,则,FG与FC,所成的,锐角或直角是异面,直线,DE与CF,所成的角,FG/DE，,ABCDEGF2）求CF与DE所成的角。方法2则FG与FC所,19,A,B,C,D,F,N,E,（2）求,CF,与,DE,所成的角,方法3,则,DE与EN,所成的,锐角或直角是异面,直线,DE与CF,所成的角,EN/CF,ABCDFNE（2）求CF与DE所成的角方法3则DE与EN所,20,A,B,C,D,E,F,K,（2）求,CF,与,DE,所成的角,方法4,延长BD到K，使DK=BD，,连结CK，FK，则CK/DE,则,CK与CF,所成的锐角或直角是,异面直线,DE与CF,所成的角,ABCDEFK（2）求CF与DE所成的角方法4延长BD到K，,21,小结：,三种平移方法:,1.,直接,平移法,3.,补形平移法,2.,中位线平移法,平移一条直线,平移二条直线,其他方法,如三垂线定理,由线面垂直推线线垂直,由面面垂直推推线线垂直,例如,长方体的棱平行,或找平行的平面 平行线,在已知图形外,补作一个相同的几何体,以便找出平行线,小结：三种平移方法:1.直接平移法3.补形平移法2.中位线,22,Thank You,Everyone,谢 谢 各 位,Thank You,Everyone 谢 谢,23,