曲率挠率Frenet公式与标架

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲率、挠率,Frenet,标架与,Frenet,公式,一,挠率,分析从法向量,B,(,s,),对弧长,s,求导所得向量,B,(,s,),的行为,由于从法向量是单位向量场，易知,B,(,s,),B,(,s,),；,而由,B,(,s,),=,T,(,s,),N,(,s,),对弧长,s,求导得,B,=,T,N,T,N,=,T,N,T,于是，,B,N,把,B,(,s,),在,Frenet,标架,r,(,s,);,T,(,s,),N,(,s,),B,(,s,),下的分量抽象出来，将找到所需要的几何量,定义,1,对于无逗留点的曲线,C,，,称,B,N,为曲线的,挠率,函数,，其中,B,为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为,挠率半径,可证（,习题,2.4.1,）,挠率在容许参数变换下不变,一,挠率,B,N,对于无逗留点的曲线,C,，,称,B,N,为曲线的,挠率,函数，其中,B,为从法向量对弧长的导数,计算：按挠率定义和,Frenet,标架的单位正交右手性质，,(4.1),B,(,s,),N,，,(4.2),(,T,N,),N,(,T,N,),N,(,T,N,N,),一,挠率,定理,1,对曲率非零的曲线,C,而言，,C,为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零,证明,由,上节例,4,的结论,可知，只要证明,“,从法向量恒等于常向量,”,等价于,“,挠率函数恒等于零,”,，,而这由,B,(,s,),N,，,即可得证,定理,2,设无逗留点的弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,),与,C,*:,r,*,r,*(,s,),合同，则两条曲线在对应点,r,(,s,),与,r,*(,s,),处的挠率,(,s,),与,*,(,s,),总相等,证明,与上一节定理,2,的证明相同，对曲线,C,*,各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵,A,SO,(3),和位置向量,OP,(,b,1,b,2,b,3,),，,使,一,挠率,定理,2,设无逗留点的弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,),与,C,*:,r,*,r,*(,s,),合同，则两条曲线在对应点,r,(,s,),与,r,*(,s,),处的挠率,(,s,),与,*,(,s,),总相等,证明,与上一节定理,2,的证明相同，对曲线,C,*,各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵,A,SO,(3),和位置向量,OP,(,b,1,b,2,b,3,),，,使,r,=,OP,+,r,*,A,，,T,=,T,*,A,，,T,=,T,*,A,，,*,将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有,N,=,N,*,A,，,N,=,N,*,A,故由,(4.2),式便知有,(,T,N,N,),(,T,*,A,N,*,A,N,*,A,),(,T,*,N,*,N,*,),A,(,T,*,N,*,N,*,),*,一,挠率,定理,1,对曲率非零的曲线,C,而言，,C,为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零,定理,2,设无逗留点的弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,),与,C,*:,r,*,r,*(,s,),合同，则两条曲线在对应点,r,(,s,),与,r,*(,s,),处的挠率,(,s,),与,*,(,s,),总相等,定理意义,：,挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的,几何量,，因而又可称之为曲线的,第二曲率,；,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的,扭曲,程度,挠率的计算,在一般参数下，挠率的用位置向量表示的计算公式可以利用复合求导而由弧长参数下的计算公式,(4.2),式和,(3.9),式推出（,参见习题,4,），也可以从,(3.8),式和,(3.9),式导出,例,1,对常数,a,0,和常数,b,，,计算曲线,r,(,t,)=(,a,cos,t,a,sin,t,b,t,),的挠率,.,注意解法有多种：,可先作弧长参数化，再用定义式计算；,或先确定参数与弧长参数的关系，再利用复合求导以及定义式计算；,或代入公式,(4.3),计算,这里采用,第二种算法,，按,上节例,5,接着计算,二,Frenet,公式,按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线,r,，其,Frenet,标架关于曲线弧长,s,的,运动公式,（,作微小位移时的变换公式,）现在已经可以确定为,这组公式称为,曲线论基本方程,，它包含了曲线几何的最基本信息：,弧长，曲率，挠率,在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公式的重要含义,二,Frenet,公式,曲线论基本方程,包含了曲线几何的最基本信息：,弧长，曲率，挠率,鉴于其重要地位，称为,Frenet-Serret,公式,，或简称为,Frenet,公式,，并通常写为,二,Frenet,公式,在明确了,Frenet,公式之后，,Frenet,标架关于弧长的各阶导向量在,Frenet,标架下的分量,就都可以,用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来,因此，利用,Frenet,公式和微积分学的一般知识，就有求解曲线几何问题的常用一般步骤：,将,几何条件,表示成,解析表达,式；,分析,条件，,合理,进行求导（或积分等等）,运算,和代数运算若干次，,寻找,所求几何,结论,所对应的解析表达式；,从解析式,表述几何结论,在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这种步骤的能力,二,Frenet,公式,不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述步骤实际上是,“,翻译,”,和,“,推演,”,这两类过程在进行,适当的结合和互相提示,；这种思维方式是重要的，,适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程，,特别适用于理性的数量关系问题的求解过程，,当然包括适用于对曲面几何问题的讨论,具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理和公式的证明过程，直至理论框架,典型的使用过程，也可以参阅第七章,6,中球面曲线的局部特征定理及其证明本章,7,中也经常使用这些步骤,三,.,曲线的曲率和,Frenet,标架,一曲率,考虑,单位切向及其方向相对于弧长的变化率,定义,1,曲率向量,；,曲率,；,曲率半径,曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取,定理,2,设弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,),与,C,*:,r,*,r,*(,s,),合同，则两条曲线在对应点,r,(,s,),与,r,*(,s,),处的曲率,(,s,),与,*,(,s,),总相等,二,Frenet,标架,在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场,当曲率向量非零之时，利用,曲率向量的单位化向量,建立符合需要的单位正交右手标架场,二,Frenet,标架,在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场,当曲率向量非零之时，利用,曲率向量的单位化向量,建立符合需要的单位正交右手标架场,