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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案7 空间向量在立体几何,中的应用,考点1,考点2,考点3,考点4,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考 向 预 测,考 纲 解 读,空间向量在立体几何中的应用,1.理解直线的方向向量和平面的法向量.,2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系.,3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.,4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,返回目录,考 向 预 测,返回目录,从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力.,1.用向量证明平行,(1)设直线l,1,和l,2,的方向向量分别为v,1,和v,2,，则l,1,l,2,或l,1,与l,2,重合,.,(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v,1,和v,2,，则l或l,.,返回目录,v,1,v,2,存在两个实数x,y，使v=xv,1,+yv,2,返回目录,(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u,则l或l,.,(4)平面和的法向量分别为u,1,u,2,，则或与重合,.,2.用向量证明垂直,(1)设直线l,1,和l,2,的方向向量分别为v,1,和v,2,，则l,1,l,2,.,(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l,.,(3)设平面和的法向量分别为u,1,和u,2,，则,.,uv=0,u,1,u,2,v,1,v,2,v,1,v,2,=0,vu,u,1,u,2,u,1,u,2,=0,返回目录,3.垂线定理及逆定理,设l是平面的一条斜线，l在内的射影为b,c是内的一条直线，则lc,.,4.空间角公式,(1)异面直线成角公式:设a,b分别为异面直线l,1,l,2,的方向向量,为异面直线所成的角,则cos=,=,.,(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与成的角,则sin=,=,.,bc,|cos|,|cos|,返回目录,(3)面面角公式:设n,1,n,2,分别为平面,的法向量,二面角为,则=,或=,(需要根据,具体情况判断相等或互补),其中cos=,.,5.空间的距离,(1)一个点到它在一个平面内,的距离，叫作点到这个平面的距离.,(2)已知直线l平行于平面，则l上任一点到的距离都,，叫作l到的距离.,-,正射影,相等,(3)和两个平行平面同时,的直线，叫作两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫作两个平面的,.两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的,叫作两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.,(4)若平面的一个,为m，P是外一点，A是,内任一点，则点P到的距离d=,.,返回目录,垂直,公垂线段,长度,法向量,返回目录,考点1 用向量证明平行、垂直问题,2010年高考安徽卷,如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点.,（1）求证：FH平面EDB;,（2）求证：AC平面EDB.,【证明】,四边形ABCD为正方形,ABBC.又EFAB,EFBC.,又EFFB,EF平面BFC.,EFFH,ABFH.又BF=FC,H为BC的中点,FHBC.FH平面ABC.,以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向，建立如图所示的坐标系.,返回目录,【分析】,建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明.,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,11/15/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/15,2024/11/15,15 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,返回目录,设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).,(1)设AC与BD的交点为G，连接EG,GH,则G(0,-1,0),GE=(0,0,1).又HF=(0,0,1),HFGE.,又GE平面EDB,HF平面EDB,FH平面EBD.,(2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),ACGE=0,ACGE.,又ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.,返回目录,利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.,返回目录,2009年高考浙江卷,如图,平面PAC平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.,(1)设G是OC的中点,证明:FG平面BOE;,(2)证明:在ABO内存在一点M,使FM平面BOE,并求点,M到OA,OB的距离.,返回目录,【解析】,(1)证明:如图,连结OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).,由题意,得G(0,4,0).因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),所以平面BOE的法向量n=(0,3,4).,由FG=(-4,4,-3),得nFG=0.,又直线FG不在平面BOE内,所以FG平面BOE.,返回目录,(2)设点M的坐标为(x,0,y,0,0),则,FM=(x,0,-4,y,0,-3).因为FM平面BOE,所以FMn,因此x,0,=4,y,0,=,即点M的坐标是（4,0）.,在平面直角坐标系xOy中,AOB的内部区域可表示为不等式组 x0,y0,x-y8.,经检验,点M的坐标满足上述不等式组.,所以，在AOB内存在一点M,使FM平面BOE.,由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4,.,返回目录,考点2 用向量方法求线面角,2010年高考辽宁卷,如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC,ABAC,PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.,(1)证明：CMSN;,(2)求SN与平面CMN所成角的大小.,【分析】,根据条件建立空间直角坐标系，,利用向量坐标运算证明、求解.,返回目录,【解析】,(1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0,）,N（,0,0）,S（1,0）.,所以CM=（1,-1,）,SN=（-,-,0）.,因为CMSN=（-+0）=0,所以CMSN.,(2)NC=（-,1,0）,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，,则 aCM=0,aNC=0,返回目录,即 x-y+z=0,-x+y=0，,令x=2,得a=(2,1,-2).,因为|cos0），,则M(0,).MB=().,又AB=(0,2,0),=60,故MBAB=|MB|AB|cos60,即 ,解得=1，即SM=MC.,所以M为侧棱SC的中点.,返回目录,（2）由M(0,1,1),A(,0,0),得AM的中点G(,).,又GB=（,-）,MS=(0,-1,1),AM=(-,1,1),GBAM=0,MSAM=0,所以GBAM,MSAM.,因此等于二面角SAMB的平面角.,cos=-.,所以二面角SAMB的余弦值为-.,返回目录,考点4 用向量求距离,2010年高考江西卷,如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 .,（1）求点A到平面MBC的距离；,（2）求平面ACM与平面BCD,所成二面角的正弦值.,【分析】,建立坐标系后，,代入点到平面的距离公式，,可求点A到平面MBC的距离.,返回目录,【解析】,取CD中点O，连接OB,OM,则OBCD,OMCD.,又平面MCD平面BCD,所以MO平面BCD.,取O为原点，直线OC,BO,OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2 ).,(1)设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则,BC=(1,0),BM=(0,).,由nBC得x+y=0;,由nBM得 y+z=0.,取n=(,-1,1),BA=(0,0,2 )，则,返回目录,(2)CM=(-1,0,),CA=(-1,-,2 ).,设平面ACM的法向量为n,1,=(x,1,y,1,z,1,),由n,1,CM,n,1,CA得 -x,1,+z,1,=0,-x,1,-y,1,+2 z,1,=0,解得x,1,=z,1,y,1,=z,1,取n,1,=(,1,1).,又平面BCD的法向量为n,2,=(0,0,1),所以cos=.,设所求二面角为，则sin=.,故所求二面角的正弦值为 .,点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视.,返回目录,如图示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90,AP=BP=AB,PCAC.,（1）求证：PCAB；,（2）求二面角B-AP-C的余弦值.,（3）求点C到平面APB的距离.,返回目录,（1）证明:AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC,PCBC.,ACBC=C，,PC平面ABC.,AB平面ABC,PCAB.,返回目录,（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.,则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.,设P（0，0，t），,|PB|=|AB|=2 ，t=2，P（0，0，2）,取AP中点E，连接BE，CE.,|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，,CEAP，BEAP.,BEC是二面角BAPC的平面角.,E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),cosBEC=.,二面角BAPC的余弦值为 .,返回目录,（3）AC=BC=PC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离.,如（2）中建立的空间直角坐标系C-xyz.,BH=2HE，点H的坐标为（,）.,|CH|=.,点C到平面APB的距离为 .,返回目录,返回目录,1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.,2.角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，
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