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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、引进定积分概念的两个例子,第五章定 积 分,第一节定积分的概念与性质,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,一、引进定积分概念的两个例子第五章定 积 分第一节定积分,1,一、引进定积分概念的两个例子,1,.曲边梯形的面积,曲边梯形：在直角坐标系下，,由闭区间,a,b,上的连续曲线,y,=,f,(,x,),0，,直线,x,=,a,，,x,=,b,与,x,轴围成的平面图形,AabB,.,y,x,O,a,b,A,B,x,=,a,x,=,b,y,=,f,(,x,),一、引进定积分概念的两个例子1.曲边梯形的面积曲边梯形：在直,2,基于这种想法，,可以用一组平行于,y,轴的直线,把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，,只要分割得较细，,每个小曲边梯形很窄，,则其高,f,(,x,)的变化就很小.,这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，,底上某点函数值为高的矩形，,曲线,y,=,f,(,x,)是连续的，,所以，当点,x,在区间,a,b,上某处变化很小时，,则相应的高,f,(,x,)也就变化不大.,基于这种想法，,3,显然，分割越细，,近似程度就越高，,当无限细分时，,则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，,进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积,.,显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，,4,(,1,)分割,在区间,a,b,内任意插入,n,1 个分点：,a,=,x,0,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,n,=b,，,把区间,a,b,分成,n,个小区间：,x,0,x,1,，,x,1,x,2,，,，,x,i,-,1,x,i,，,，,x,n,-,1,x,n,.,这些小区间的长度分别记为,x,i,=,x,i,x,i,-,1,(,i,=1,2,n,).,过每一分点作平行于,y,轴的直线，,它们把曲边梯形分成,n,个小曲边梯形.,根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.,a,=x,0,x,1,x,i,-,1,x,n,=,b,O,y=f,(,x,),y,B,A,x,x,i,O,y,B,A,x,(1)分割在区间a,b内任意插入 n 1 个分点,5,(,2,)近似代替,在每个小区间,x,i,-,1,x,i,(,i,=1,2,n,),上取一点,x,i,(,x,i,-,1,x,i,x,i,),以,f,(,x,i,)为高，,x,i,为底作小矩形，,用小矩形面积,f,(,x,i,),x,i,近似代替相应的小曲边梯形面积,A,i,，,即,A,i,f,(,x,i,),x,i,(,i,=1,2,n,).,x,1,x,2,x,i,x,n,x,O,y=f,(,x,),y,B,A,a,=x,0,x,1,x,i,-,1,x,n,=,b,x,i,(2)近似代替在每个小区间 xi-1,xi(i,6,(,4,)取极限,当分点个数,n,无限增加，,即,(,3,)求和,把,n,个小矩形面积加起来，,它就是曲边梯形面积的近似值，,即,且小区间长度的最大值,(即,=max,x,i,),趋近于 0 时，,上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，,(4)取极限当分点个数 n 无限增加，即(3)求和把 n,7,2,.变速直线运动的路程,设一物体作直线运动，,已知速度,v,=,v,(,t,),是时间,t,的连续函数，,求在时间间隔,T,1,T,2,上物体所经过的路程,s,.,(,1,)分割,在时间间隔,T,1,T,2,内任意插入,n,-,1,个分点：,T,1,=,t,0,t,1,t,2,t,i,-,1,t,i,t,n,-,1,t,n,=T,2,，,把,T,1,T,2,分成,n,个小区间：,t,0,t,1,，,t,1,t,2,，,，,t,i,-,1,t,i,，,，,t,n,-,1,t,n,.,这些小区间的长度分别为：,t,i,=,t,i,t,i,1,(,i,=1,2,n,).,相应的路程,s,被分为,n,段小路程：,s,i,(,i,=1,2,n,).,2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，,8,(,2,)近似代替,在每个小区间上任意取一点,x,i,(,t,i,-,1,x,i,t,i,),用,x,i,点的速度,v,(,x,i,),近似代替物体在小区间上的速度，,用乘积,v,(,x,i,),t,i,近似代替物体在小区间,t,i,-,1,t,i,上所经过的路程,s,i,，,即,s,i,v,(,x,i,),t,i,(,i,=1,2,n,),.,(2)近似代替在每个小区间上任意取一点 xi(ti-1,9,(,3,)求和,(,4,)取极限,(3)求和(4)取极限,10,二、定积分的定义,定义,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有定义,任意取分点,a,=,x,0,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,1,x,2,x,i,-,1,x,i,x,n,-,1,x,n,=b,由于,x,i,-,1,x,i,，,x,i,=,x,i,-,x,i,-,1,b,，同样可给出定积分,即可，,(4)该定义是在积分下限 a 小于积分上限 b 的情况,16,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(,1,),曲边梯形面积,A,是曲边函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的定积分，,即,(,2,),变速直线运动的路程,s,是速度函数,v,(,x,)在时间间隔,T,1,T,2,上的定积分，,即,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：(,17,例,1,用定义计算,解,被积函数,f,(,x,)=e,-,x,，,在区间,0,1,上连续，,所以 e,-,x,在,0,1,上可积.,为了计算方便起见，,把区间,0,1,等分成,n,份，,分点为,例 1用定义计算解被积函数 f(x)=e-x，在区,18,每个子区间的长度都是,在每个子区间,上都取左端点为,x,i,，,于是和式为,每个子区间的长度都是 在每个子区间上都取左端点为 xi，于,19,当,l,=max,x,i,0,+,时，即,n,+,有,于是有,当 l=maxxi0+时，即 n+,20,A,a,b,B,y,=,f,(,x,),三、定积分的几何意义,当,f,(,x,),0 时，,定积分在几何上表示,曲边,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上方的曲边梯形面积，,如果,f,(,x,),21,当,f,(,x,),在,a,b,上有正有负时，,x,轴上方的曲边梯形面积减去,x,轴下方的曲边梯形面积,y,x,定积分,y,=,f,(,x,),A,B,a,b,A,1,A,2,A,3,当 f(x)在 a,b 上有正有负时，,22,四、定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质,1,(,1,),两个函数和的定积分等于它们定积分的和,，,即,(,2,),被积函数的常数因子可以提到积分外面,，,即,四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质,23,证,只证性质 1.,根据定积分的定义，,有,证 只证性质 1.根据定积分的定义，有,24,性质,1,的,(,1,),可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质 1 的(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即,25,性质,2,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),1,，,那么,性质,3,(,积分对区间可加性,),如果积分区间,a,b,被点,c,分成两个区间,a,c,和,c,b,，,那么,当点,c,不介于,a,与,b,之间，,即,c,a,b,或,a,b,0 (,i,=1,2,n,)，,移项，得,推论,由性质,4,可得,所以上式右端的极限值非正，,从而有,由题设得知 f(xi)g(xi)，即 f(x,28,性质,5,(,估值定理,),如果存在两个数,M,，,m,，,使函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,有,m,f,(,x,),M,，,那么,该性质的几何解释是：,曲线,y,=,f,(,x,)在,a,b,上的曲边梯形面积,介于与区间,a,b,长度为底，,分别以,m,和,M,为高的两个矩形面积之间.,m,(,b,-,a,),M,(,b,-,a,),y,=,f,(,x,),y,x,a,b,m,M,O,B,A,性质 5(估值定理)如果存在两个数 M，m，使函数 f,29,性质,6,(,积分中值定理,),如果函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，,=,f,(,x,)(,b,-,a,),那么在区间,a,b,上至少存在一点,x,，,使下面等式成立：,性质 6(积分中值定理)如果函数 f(x)在区,30,证,因为,b,a,0，,由估值定理得,由闭区间上连续函数的介值定理知道,在,a,b,上至少存在一个点,x,，,于是得,当,b 0，由估值定理得由闭区间上连续函数,31,该性质的几何解释是：,一条连续曲线,y,=,f,(,x,)在,a,b,上的曲边梯形面积,y,x,O,f,(,x,),x,y,=,f,(,x,),a,b,B,A,等于区间,a,b,长度为底，,a,b,中一点,x,的函数值为高的矩形面积.,该性质的几何解释是：,32,例,2,比较下列各对积分值的大小：,例 2比较下列各对积分值的大小：,33,解,(,1,),根据幂函数的性质，在,0,1,上，有,由性质 4，得,解(1)根据幂函数的性质，在 0,1 上，有由性质,34,(,2,),令,f,(,x,)=,x,-,ln(1+,x,)，,f,(,x,),函数,f,(,x,)在区间,0,1,上单调增加，,所以，,f,(,x,),f,(0)=,x,-,ln(1,+,x,)|,x,=0,=0，,从而有,x,ln(1+,x,)，,由性质 4，得,知,由,在区间,0,1,上,(2)令 f(x)=x-ln(1+x)，f,35,解,令,f,(,x,)=0，,得驻点,x,=0.,比较驻点,x,=0，区间端点,x,=,1 的函数值，,f,(0)=e,0,=1，,其次，根据估值定理得,例,3,估计定积分,最大值,M,=1，,解 令 f(x)=0，得驻点 x=0.比较驻点,36,
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