特征值与特征向量

特征值与特征向量,【,探究,】,1,、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,2,、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,例题分析,M,a,la,l,为矩阵,M,的特征值,a,为矩阵,M,的属于特征值,l,的特征向量。,特征值及特征向量的定义,建构数学,设矩阵,A,，如果对于实数,l,，,存在一个,非零向量,a,，使得,A,a,=,l,a,，则称,l,是矩阵,A,的一个,特征值,。,a,是矩阵,A,的属于特征值,l,的一个,特征向量,。,从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵,A,的作用后，保持在同一条直线上。,这时，特征向量或者,方向不变,(,l,0),，,或者,方向相反,(,l,0).,特别地，当,l,=0,时，特征向量被变换成了,0,向量,.,设,l,是矩阵,A,=,的一个特征值，它的一个,特征向量为,则,即 满足方程组,故,此时,D,x,=0,、,D,y,=0,.,则,D,=,0,即,因,0,，所以,x,y,不全为,0,，,建构数学,设矩阵,A,，,l,R,，,我们把行列式,称为,A,的,特征多项式,。,分析表明，如果,l,是矩阵,A,的特征值，则,f,(l)=0,此时，将,l,代入方程组,(*),，得到一组非零解,即 为矩阵,A,的属于,l,的一个特征向量,.,数学运用,例,1,、求出矩阵,A,=,的特征值和特征向量,能否从几何变换的角度直接观察出矩阵,A,的特征向量？,思考：,总结,求二阶矩阵特征值与特征向量的,步骤,：,其几何意义是什么？,如果,a,是矩阵,A,的属于特征值,l,的一个特征向量，则对任意的非零常数,t,，,t,a,也是矩阵,A,的属于特征值,l,的特征向量。,【,定理,1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量,共线,.,属于矩阵的不同特征值的特征向量,不共线,。,【,定理,2】,属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？,思考：,探究：,1,、矩阵,A,=,的特征向量是什么？,怎样从几何角度加以解释？,2,、从几何角度解释,的特征向量。,P73,习题,2.5 1.,求特征值与特征向量,:,（,2008,江苏高考）,设椭圆,4,x,2,+,y,2,=1,在矩阵 对应的变换下得到,曲线,F,求,F,的方程,.,（,2009,江苏高考）,求矩阵 的逆矩阵,.,在平面直角坐标系,xoy,中,已知点,A,(0,0),B,(,-,2,0),C(,-,2,1),设,k,为非零实数,矩阵,M,=,N,=,，,点,A,B,C,在矩阵,MN,对应的变换下得到点分别为,A,1,B,1,C,1,A,1,B,1,C,1,的面积是,ABC,面积的,2,倍,求,k,的值。,（,2010,江苏高考）,知识回顾,2,、自学课本,69,至,70,页内容，总结求,的步骤。,新课讲解,建构数学,建构数学,任意向量都可以用特征向量来表示。,数学运用,P73,习题,2.5 3.,例,4.,已知二阶矩阵,M,有特征值 及对应的一个特征,向量,并且矩阵对应的变换将点,(,-,1,2),变成,(,-,2,4),(1),求矩阵,M,；,(2),求矩阵,M,的另一个特征值及对应的特征向量；,(3),求直线,l,:,x,-,y,+1=0,在矩阵,M,的作用下的直线,l,/,.,l,/,:,x,-,y,+1=0,