第7章导数与微分的MATLAB求解

,Click to edit the title text format,Click to edit the outline text format,Second Outline Level,Third Outline Level,Fourth Outline Level,Fifth Outline Level,Sixth Outline Level,Seventh Outline Level,Eighth Outline Level,Ninth Outline Level,Click to edit the title text format,Click to edit the outline text format,Second Outline Level,Third Outline Level,Fourth Outline Level,Fifth Outline Level,Sixth Outline Level,Seventh Outline Level,Eighth Outline Level,Ninth Outline Level,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章,导数与微分的,MATLAB,求解,Outline,7.1,导数概念,7.2,导数的,MATLAB,符号,求解,7.3,函数的微分,7.4,微分,中值定理,7.5,洛必达法则,7.6,泰勒公式,7.7,函数的单调性与曲线的凹凸,性,7.8,函数的极值与最值,7.9,曲线的,渐近线,7.10,曲率,7.11,方程的近似解,7.12,导数的数值求解,7.1,导数,概念,1.,导数的定义,设,函数,在点,的,某个邻域内有定义，当,自变量,在,处,取得,增量,（假设,点,仍,在该邻域内）时，相应的函数取得,增量,；如果,与,之,比,当,时的极限存在，则称,函数,在点,处,可导，并称这个极限为,函数,在点,处,的导数，记,为,，,即,也,可记作,或,。,将,上面导数的定义式中,的,换为,即,可得到导函数的定义式,根据,函数,在点,处的,导数,的定义，,导数,是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，,因此,存在,即,在,点,处,可导的充分必要条件是左、右极限,及,都,存在且相等。这两个极限分别称为,函数,在点,处的左导数和右导数，记,作,及,，即,现在,可以说，,函数,在,点,处,可导的充分必要条件是,左导数,和右导数,都,存在且相等。,2.,导数的几何意义,函数,在点,处,的,导数,在,几何上表示,曲线,在,点,处,的切线的斜率，即,其中,是,切线的倾角。,如果函数,在点,处的导数为无穷大，这时,曲线,的,割线以垂直,于,轴,的,直线,为极限位置，即,曲线,在点,处,具有垂直,于,轴的切线,。,7.2,导数的,MATLAB,符号求解,1.,函数的导数与,高阶导数,MATLAB,符号工具箱中提供了函数,diff,来求取一般函数的导数以及高阶导数，该函数的调用格式如下,：,D=diff(fx,x,n,),运行结果如图所示。,图,函数,导数的图形直观表示,2.,隐函数,的,导数,方程,表示,一个函数，因为当,自变量,在,内,取值时，,变量,有确定的值与之对应。例如，,当,时，,；当,时,，,，等等，这样的函数称为隐函数。,一般,的,，如果,变量,和,满足,一个,方程,，在一定条件下，,当,取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一,的,值存在，那么就说方程,在,该区间内确定了一个隐函数。,隐函数,求导的一般采用如下步骤：,方程两边同时,对,求导,，这里应,注意,；,整理求得,的,表达式，即为隐函数的导数,。,3.,由参数方程所确定的函数的,导数,若,已知参数方程,，则,可以由如下递推公式求出：,7.3,函数的,微分,微分,的,定义,设函数,在,某区间内有定义,，,及,在,该区间内，如果,增量,可表示,为,其中,是,不依赖,于,的,常数，那么称,函数,在点,是可微的，,而,叫做函数,在,点,相应,于自变量,增量,的,微分，记,作,，,即,下面,讨论函数可微的条件。设,函数,在点,可,微，则,由,两边,同时除,以,，,得,于是,，,当,时,，由上式就可,得到,因此,，如果,函数,在点,可,微，,则,在点,也,一定可导（,即,存在,），,且,反之,，如果,在,点,可,导，,即,存在,，根据极限与无穷小的关系，上式可写,成,其中,，,由此又,有,因,，且,不,依赖,于,，,故,所以函数,在,点,也,是可微的。,通常,把,自变量,的,增量,称为,自变量的微分，记,作,，,即,。于是，,函数,的,微分又可记,作,从而有,，这就是说，函数的,微分,与,自变量的微分,之,商等于该函数的导数。因此，导数也叫做,“,微商,”,。,2.,微分的几何,意义,在,直角坐标系中，,函数,的,图形是一条曲线。对于某一固定,的,值,，曲线上有一个确定,点,，,当,自变量,有,微小,增量,时，就得到曲线上另,一点,，,由,图可知：,过点,作曲线的切线,，,它的倾角为,，则,即,。,微分,的几何意义,7.4,微分,中值定理,1.,罗尔定理,为,更好地理解罗尔定理，先介绍费马引理：设,函数,在,点,的某,邻域,内有定义，并且,在,处可导，如果对任意,的,，,有,那么,。,介绍,罗尔定理，如果,函数,满足：,在,闭区间,上连续；,在,开区间,内可导；,在区间端点处,的函数,值相等，,即,。,那么在,内,至少有,一点,，使得,。,罗尔定理的直观演示如,图所,示,。,图,罗,尔定理图形直观表示,2.,拉格朗日中值定理,罗,尔定理,中,这个,条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制。如果,把,这个,条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应的改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。,如果函数,满足,：,在,闭区间,上,连续；,在,开区间,内可导；,那么在,内,至少有,一点,，,使,得,成立,。,关于,拉格朗日中值定理的证明此处从略，这里仅介绍该定理的几何意义，如,图所,示。由于上式可以改写,为,且,为弦,的斜率，,而,为,曲线在,点,处,的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义,是：如果,连续曲线,的弧,上除端点外处处具有不垂直,于,轴的切线，那么该弧上至少有,一点,，,使曲线,在,点处的切线平行于,弦,。而且易知，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形,。,拉格朗日中值定理,图形直观表示,3.,柯西中值定理,前面已经指出，如果连续曲线弧,上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点,，使曲线在点,处的切线平行于弦,。设,由参数方程,表示，如图所示。其中,为参数，那么曲线上点,处的切线的斜率为,弦,的斜率为,假定点,对应于参数,，那么曲线上点,处的切线平行于弦,，可表示为,柯西中值定理,图形直观表示,7.5,洛必达法则,1.,型洛必达法则,如果,当,时,，两个,函数,与,都,区域零或趋于无穷大，那么,极限,可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记,为,或,。,关于未定式极限我们通常使用洛必达法（,LHospital,）则求解，本小节先,介绍,和,时的,型,未定式的求解方法,。,这里不加证明的给出如下两个定理：,设,函数,与,满足,：,当,时,，,函数,与,都,趋于无穷大；,在,点,的某去心邻域内,，,与,都,存在,且,；,存在,（或为无穷大），,那么,2.,型洛必达法则,下面,我们着重,介绍,型的洛必达法则，事实上，这种形式的洛必达法则在实际中用,的,较多,，,而且,型也可以由,型,变换得到，关于该种类型的洛必达法则同样有以下两个定理：,设函数,与,满足,：,当,时,，,函数,与,都,趋于零；,在,点,的,某去心邻域内,，,与,都,存在,且,；,存在,（或为无穷大），,那么,7.6,泰勒公式,泰勒,（,Taylor,）中值定理：如果,函数,在含有,的,某个,开区间,内,具有,直到,阶的导数，则对任一,，有,其中,这里,是,与,之间的某个值。,多项式,称为函数,按,的,幂展开的,次,泰勒多项式，上述公式,称为,按,的幂展开的带有拉格朗日型余项,的,阶泰勒公式，而,称为,拉格朗日型余项。,7.7,函数的单调性与曲线的凹凸性,函数单调性的判定法,设函数,在,上连续，在,内,可导，,在,上任取两,点,，,应用拉格朗日中值定理，得到,由于,，因此，如果,在,内导数,保持正号，,即,，那么也,有,。,于是,即,表明,函数,在,上,单调增加。同理，如果,在,内导数,保持,负号，,即,，那么也,有,。于是,，,即,，,表明,函数,在,上,单调减少,。,归纳,以上讨论，即得以下定理：设,函数,在,上连续，在,内,可导，,如果在,内,，,那么,函数,在,上,单调增加；,如果在,内,，,那么,函数,在,上单调减少。,2.,曲线的凹凸性与,拐点,我们,从几何上可以看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有的曲线弧，则正好相反。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。,设,在区间,上,连续，如果对,上,任意两点,，,恒,有,那么称,在,上,的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒,有,那么,称,在,上,的图形是（向上）凸的（或凸弧）,。,如果,函数,在区间,内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。这里仅,就,为闭区间的情形来叙述曲线凹凸性的判定定理，,当,不是闭区间时，定理类同。,设,在区间,上连续，,在,内具有一阶和二阶导数，那么,若在,内,，则,在,上的,图形是凹的；,若在,内,，,则,在,上,的图形是凸的。,一般,的，,设,在,区间,上连续,，,是,的,内点，如果,曲线,在,经过,点,时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点,为,曲线的拐点。,7.8,函数的极值与最,值,1.,函数的极值及其求,法,设函数,在,点,的某,邻域,内有定义，如果对于去心,邻域,内的,任一,，,有,那么就,称,是,函数,的一个极大值（或极小值）。,函数,的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。下面给出可导函数取得极值的必要条件和充分条件：,必要条件：,设,函数,在,点,处,可导，且在,处,取得极值，,那么,。,第一充分条件：,设函数,在点,处,连续，且,在,的某去心,邻域,内,可导，,若,时，,，,而在,时，,，则,在,点,处,取得极大值；,若,时,，,，,而在,时,，,，则,在点,处,取得极小值；,若,时，,的,符号保持不变，,则,在,处,没有极值,。,第二充分条件：,设函数,在点,处,具有二阶导数，,且,，,，,那么,当,时，,函数,在,处,取得极大值；,当,时,，,函数,在,处,取得极小值。,2.,最大值最小值,问题,在,求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述,情：,在,一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，并且这个,驻点,是函数,的极值点，那么，当,是,极大值时,，,就是,在,该区间上的最大值；当,是,极小值时,，,就是,在该区间上的最小值。,7.9,曲线的,渐近线,如果,存在,直线,，使得当,时,，,曲线,上,的动,点,到直线,的,距离,，则,称,为曲线,的,渐近线,。,渐近线,通常有以下三种：,水平渐近线：如果,函数,的定义域是无限区间，,且,，其中,为,常数，则直线,为,曲线,的,水平渐近线；,垂直渐近线：如果存在,常数,，使得,，,则称,直线,为,曲线,的,垂直渐近线,；,斜渐近线：,如果,成立,，则称,是曲线,的,斜渐近线,，,可以,证明：,7.10,曲率,1.,弧,微分,函数,在,区间,内,具有连续导数。在曲线,上,取固定,点,作为,度量弧长的基点（如,图所,示），并规定,依,增大,的方向作为曲线的正向。