直线与平面垂直的判定线面夹角

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.1,线面垂直的判定,线面所成的夹角,一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，,则该直线与此平面垂直。,线面垂直的判定,线线垂直,垂直,面内,相交,线面垂直,a,一条直线,PA,和一个平面,a,相交,但不垂直,l,A,其交点,A,叫做,斜足。,这条直线叫做这个平面的,斜线,P,T,S,R,Q,平面外一点到这个平面的斜线段有,无数,条,但是该点到这个平面的垂线段,有且只有,一条,斜线与斜足,如图,直线,l,与平面,a,斜交于一点,A,过点,A,在平面,a,内作直线,l,1,l,2,l,3,这些直线与直线,l,的夹角中,你认为哪个角最小,?,怎样确定这个最小的角,?,l,a,l,4,A,l,3,l,1,l,2,P,过,l,上任一点,P,作平面,a,的,O,垂线,PO,垂足为,O,连结,AO,则,PAO,就是那个最小的角,.,直线和平面所成的角,a,P,O,过斜线上斜足以外的一点,P,向平面引垂线,PO,直线和平面所成的角,l,A,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条,直线和,这个,平面所成的角,.,过垂足,O,和斜足,A,的直线,AO,叫斜线在平面上的,射影,O,P,a,Q,PO,a,=,O,O,为斜足,PQ,a,Q,为垂足,OQ,是,PO,在平面,a,上的射影,POQ,是斜线,PQ,与平面,a,所成的角,.,特例,1:,如果直线,垂直,平面,直线和平面所成的角为,直角,;,特例,2:,如果直线和平面,平行,或,在平面内,就说直线和平面所成的角是,0,的角,.,直线和平面所成的角,已知直线,l,1,、,l,2,和平面,a,所成的角相等,能否判断,l,1,l,2,?,反之,如果,l,1,l,2,l,1,l,2,与平面,a,所成的角是否相等,?,如图,a,A,B,C,D,O,AB,a,CD,a,AOB,=,COD,而,AO,与,CO,不平行,.,和同一平面所成的角相等的两条斜线,不一定平行,.,a,A,B,C,D,O,1,O,2,如图,AB,CD,AO,1,a,CO,2,a,则,AO,1,CO,2,于是得,BAO,1,=,DCO,2,在直角三角形中得,ABO,1,=,CDO,2,已知直线,l,1,、,l,2,和平面,a,所成的角相等,能否判断,l,1,l,2,?,反之,如果,l,1,l,2,l,1,l,2,与平面,a,所成的角是否相等,?,两条平行线和同一个平面所成的角,一定相等,.,1,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,ABCD,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,2,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,B,1,D,1,D,B,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,3,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,A,1,B,1,CD,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,1,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,ABCD,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,分析,:,需在平面,ABCD,上找到直线,A,1,B,的射影,.,BA,1,O,就是所要求的线面角,A,是垂足,，,B,是斜足,AB,是,A,1,B,在平面,ABCD,上的射影,BA,1,O=,45,2,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,B,1,D,1,D,B,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,分析,:,需在平面,B,1,D,1,D,B,上找到直线,A,1,B,的射影,.,A,1,BO,就是所要求的线面角,B,是斜足，找,A,1,在,面,B,1,D,1,D,B,的垂足,O,是垂足，,OB,是,A,1,B,在面,B,1,D,1,D,B,上的射影,O,A,1,O,B,1,D,1,A,1,O,B,1,B,A,1,O,面,B,1,D,1,D,B,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,2,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,B,1,D,1,D,B,所成的角。,A,1,BO,就是所要求的线面角,O,A,1,B,3,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,A,1,B,1,CD,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,分析,:,需在平面,A,1,B,1,CD,上找到直线,A,1,B,的射影,.,OA,1,B,就是所要求的线面角,A,1,是斜足，找,B,在,面,A,1,B,1,CD,的垂足,O,是垂足，,A,1,O,是,A,1,B,在面,A,1,B,1,CD,上的射影,BO,B,1,C,BO,A,1,B,1,BO,面,A,1,B,1,CD,OA,1,B,就是所要求的线面角,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,O,A,1,B,3,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,A,1,B,1,CD,所成的角。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,3,、如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,求直线,A,1,B,和平面,A,1,B,1,CD,所成的角。,求线面角的要点,:,(1),找斜线在平面上的射影,确定线面角,.,(2),构造含线面角的三角形,通常构造,直角,三角形,.,(3),在三角形中求角的大小,.,练习,(,补充,).,已知,PQ,是平面,a,的垂线段,PA,是平面,a,的斜线段,直线,l,a,.,求证：,(1),若,l,PA,则,l,QA,;,(2),若,l,QA,则,l,PA,.,a,l,P,Q,A,证明,:,(1),PQ,a,l,a,PQ,l,l,PA,l,平面,PQA,QA,平面,PQA,l,QA,PQ,a,l,a,PQ,l,l,QA,l,平面,PQA,PA,平面,PQA,l,PA,练习,(,补充,).,已知,PQ,是平面,a,的垂线段,PA,是平面,a,的斜线段,直线,l,a,.,求证：,(1),若,l,PA,则,l,QA,;,(2),若,l,QA,则,l,PA,.,a,l,P,Q,A,证明,:,(2),Q,为垂线段,PQ,的垂足,.,A,为斜线段,PA,的斜足,.,QA,为斜线,PA,在平面,a,上的射影,.,有三条线,:,平面的斜线,斜线在平面上的射影,平面内的一条直线,l,.,结论,:,如果,l,斜线,则,l,射影,;,如果,l,射影,则,l,斜线,.,(,三垂线定理,),练习,(,补充,).,已知,PQ,是平面,a,的垂线段,PA,是平面,a,的斜线段,直线,l,a,.,求证：,(1),若,l,PA,则,l,QA,;,(2),若,l,QA,则,l,PA,.,a,l,P,Q,A,【,课时小结,】,1.,直线和平面所成的角,(1),平面的斜线与平面所成的角,斜线与射影的夹角,(,锐角,).,(2),平面的垂线与平面所成的角为,90,.,(3),平面的平行线或在平面内的直线与,平面所成的角为,0,.,斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的,.,两条平行线和同一个平面所成的角相等,.,【,课时小结,】,2.,求线面角的要点,(1),找斜线在平面上的射影,确定线面角,.,(2),构造含角的三角形,用三角函数求解,.,练习,(,补充,),A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,(1),求对角线,A,1,C,与平面,B,1,BCC,1,所成角的正切值,;,(2),求,AA,1,与平面,A,1,BD,所成角的正切值,.,解,:,(1),A,1,C,是平面,B,1,BCC,1,的斜线,A,1,B,1,是平面,B,1,BCC,1,的垂线,B,1,C,是,A,1,C,在平面,B,1,BCC,1,上的射影,则,A,1,CB,1,为所求的线面角,.,在,Rt,A,1,B,1,C,中,即,A,1,C,与平面,B,1,BCC,1,所成角的正切值为,练习,(,补充,),A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,(1),求对角线,A,1,C,与平面,B,1,BCC,1,所成角的正切值,;,(2),求,A,1,A,与平面,A,1,BD,所成角的正切值,.,解,:,(2),取,BD,的中点,O,连结,AO,A,1,O,过点,A,作,AE,A,1,O,垂足为,E,.,AB,=,AD,A,1,B,=,A,1,D,E,BD,AO,BD,A,1,O,则,BD,平面,A,1,AO,得,BD,AE,.,由得,AE,平面,A,1,BD,.,A,1,E,是,A,1,A,在平面,A,1,BD,上的射影,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,O,E,练习,(,补充,),如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,(1),求对角线,A,1,C,与平面,B,1,BCC,1,所成角的正切值,;,(2),求,A,1,A,与平面,A,1,BD,所成角的正切值,.,解,:,(2),取,BD,的中点,O,连结,AO,A,1,O,过点,A,作,AE,A,1,O,垂足为,E,.,AB,=,AD,A,1,B,=,A,1,D,BD,AO,BD,A,1,O,则,BD,平面,A,1,AO,得,BD,AE,.,由得,AE,平面,A,1,BD,.,A,1,E,是,A,1,A,在平面,A,1,BD,上的射影,则,AA,1,E,为所求的线面角,.,在,Rt,A,1,AO,中,即,A,1,A,与平面,A,1,BD,所成角的正切值为,练习,(,补充,),2.,已知三棱锥的三条侧棱长都等于,2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为,60,求三棱锥的体积,.,1.,若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是,.,3.,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,A,1,B,与平面,BC,1,D,1,所成的角为,.,C,D,A,B,C,1,D,1,A,1,B,1,1.,若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是,.,a,A,B,C,D,P,解,:,如图,直线,AB,是直线,PC,在平面,a,内的射影,直线,PC,与平面,a,内的直线,所成的角中,PCA,最小,直角最大,.,则,PC,与平面内任一直线所成的角的范围是,2.,已知三棱锥的三条侧棱长都等于,2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为,60,求三棱锥的体积,.,O,A,B,C,P,解,:,作,PO,底面,ABC,垂足为,O,如图,O,为底面正三角形的中心,则,PAO,=,PBO,=,PCO,=,60,PA,=,PB,=,PC,=,2.,得,Rt,POA,Rt,POB,Rt,POC,于是得,OA,=,OB,=,OC,.,得,AO,=,1,底面,ABC,的高,AE,=,E,则,BC,=,2,BE,=,2.,已知三棱锥的三条侧棱长都等于,2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为,60,求三棱锥的体积,.,O,A,B,C,P,解,:,作,PO,底面,ABC,垂足为,O,如图,O,为底面正三角形的中心,则,PAO,=,PBO,=,PCO,=,60,PA,=,PB,=,PC,=,2.,得,Rt