压杆的稳定性分析与设计

,2019/12/26,#,2024/11/15,1,第,11,章,压杆的稳定性分析与设计,2024/11/15,2,11.1,压杆稳定性的概念,构件的承载能力：,强度,刚度,稳定性,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。,2024/11/15,3,不稳定平衡,稳定平衡,微小扰动就使小球远离原来的平衡位置,微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置,2024/11/15,4,稳,定,平,衡,11.1.1,平衡位置的稳定性和不稳定性,结构构件或机器零件在,压缩,载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终,在某一位置保持平衡,，这一位置称为,平衡位置,，又称为,平衡构形,(equilibrium configuration),。,承受,轴向压缩,载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形,直线,的平衡构形和,弯曲,的平衡构形。,当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡构形,偏离,原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件,仍旧能自动回复,到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是,稳定的,(stable),。,2024/11/15,5,不,稳,定,平,衡,当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件,不能,自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是,不稳定的,(unstable),。,2024/11/15,6,3.,压杆失稳：,4.,压杆的临界压力,稳,定,平,衡,不,稳,定,平,衡,临界状态,临界压力,:,P,cr,2024/11/15,7,在任意微小的外界扰动下，,不稳定的,平衡构形会转变为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为,屈曲,(buckling),或,失稳,(lost stability),。,通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生,坍塌,(collapse),。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。,2024/11/15,8,2007,年,8,月,2,日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌,2024/11/15,9,2024/11/15,10,11.1.2,临界,状态与,临界,载荷,介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为,临界平衡构形,，或称为,临界状态,(critical state),。处于临界状态的平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。,非线性,弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。,使杆件处于临界状态的压缩载荷称为,临界载荷,(critical loading),，用,F,Pcr,表示。,2024/11/15,11,11.1.3,三种,类型的压杆的不同临界状态,不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。,理论分析与试验结果都表明：根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。,细长杆,：发生,弹性,屈曲，当外加载荷,F,P,F,Pcr,时，不发出屈曲；当,F,P,F,Pcr,时，发生弹性屈曲，即当载荷去除后，杆,仍能,由弯形平衡构形回复到初始直线平衡 构形。,2024/11/15,12,中长杆,：发生,弹塑性,屈曲。当外加载荷,F,P,F,Pcr,时，不发出屈曲；当,F,P,F,Pcr,时，它发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为压杆上某些部分已经出现,塑性,变形，即当载荷去除后，杆,不能完全,由弯形平衡构形回复到初始直线平衡 构形。,粗短杆：,不,发生屈曲，而发生,屈服,(yield),。,2024/11/15,13,11.2,细长压杆临界力的欧拉公式,一、两端铰支压杆的临界力,:,假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。,弯矩：,挠曲线近似微分方程：,P,P,x,P,x,w,P,M,2024/11/15,14,微分方程的解：,确定积分常数：,临界力,P,cr,是微弯下的最小压力,，故，只能取,n,=1,；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。,2024/11/15,15,二、此公式的应用条件：,1.,理想压杆；,2.,线弹性范围内；,3.,两端为球铰支座。,两端铰支压杆临界力的欧拉公式,压杆稳定,2024/11/15,16,11.2.2,其他,刚性支承,细长压杆临界载荷的,通用公式,长度系数（或约束系数）。,压杆临界力欧拉公式的一般形式,不同刚性支承条件下的压杆，由,静力学平衡方法,得到的,平衡微分方程,和,端部的约束条件,都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。,对比方法：,以,两端铰支,的情况为依据，将其他约束的压杆的,挠度曲线形状,与,两端铰支压杆,的,挠度曲线形状,比较，来推出不同约束条件下的压杆临界应力公式。,2024/11/15,17,0.5,l,各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,两端固定但可沿横向相对移动,失稳时挠曲线形状,P,cr,A,B,l,临界力,P,cr,欧拉公式,长度系数,=,1,0.7,=,0.5,=,2,=,1,P,cr,A,B,l,P,cr,A,B,l,0.7,l,C,C,D,C,挠曲线拐点,C,、,D,挠曲线拐点,0.5,l,P,cr,P,cr,l,2,l,l,C,挠曲线拐点,2024/11/15,18,11.3,长细比的概念 三类不同压杆的判断,11.3.1,长细比的定义与概念,前面已经提到欧拉公式只有在,弹性范围,内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在,直线,平衡构形时，其横截面上的,正应力,小于或等于,材料的,比例极 限,，即,对于某一压杆，当临界载荷,F,Pcr,尚未算出时，不能判断式,(11-9),是否满足；当临界载荷算出后，如果式,(11-9),不满足，则还需采用,超过比例极限的临界载荷,计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。,能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生,弹性屈曲,还是发生,超过比例极限的非弹性屈曲,，或者不发生屈曲而只发生强度失效,?,为了回答这一问题，需要引进,长细比,(slenderness ratio),的概念。,2024/11/15,19,细长比用,表示，定义为：,其中,为反映不同支承影响的长度系数，,l,为压杆长度，,i,为全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。,所以细长比,是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。,2024/11/15,20,(1),欧拉公式的应用范围是材料变形处于,线弹性阶段,。,表明：当,大于或等于极限值 时，欧拉公式才是适用的。,定义：,当材料的,E,、,p,给定之后，就可以,独立,计算出,p,临界压缩应力,小于,材料的比例极限，就发生了屈曲破坏。,当压杆的柔度,大于,p,时，可用上述欧拉公式计算，这种杆称为,大柔度杆,或,细长杆,2024/11/15,21,(2),如果压杆的柔度,p,时，则压杆的临界应力公式不能采用欧拉公式计算。这是属于压杆临界应力超出了材料的比例极限的压杆稳定问题。,直线公式,经验公式,把压杆的临界应力表示为柔度的,线性,函数,其中,a,、,b,是与材料性质有关的常数，由实验测定。,2024/11/15,22,的使用范围：,最低限,s,所对应的临界应力等于材料的,压缩极限应力,对于,塑性,材料,(,韧性材料,),对于,脆性,材料,定义：,把这种压杆称为,中,柔度杆。,当,时，该类压杆称为,小,柔度杆,这类,小柔度,压杆的破坏是由于压应力达到材料的极限应力而引起的破坏，它不是因失稳而破坏，而是强度问题，要采用,第,6,章,所学知识来处理。,2024/11/15,23,11.3.2,三类不同压杆的区分,2024/11/15,24,11.3.3.,三类压杆的临界应力公式,1.,大柔度压杆的,临界应力：,2,、中小柔度杆的临界应力计算,1.,直线型经验公式,P,S,时：,S,时：,或,2024/11/15,25,临界应力总图,(figures of critical stresses),b,a,s,s,-,=,s,l,P,P,E,s,p,l,2,=,小柔度杆,中柔度杆,大柔度杆,2024/11/15,26,2.,抛物线型经验公式,我国建筑业常用：,P,s,时：,s,时：,2024/11/15,27,11.4,压杆稳定条件及其应用,构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强度条件是从一点的应力出发的。,但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点，其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆上的压力,F,小于压杆的临界应力,F,cr,，故压杆的稳定条件是：,n,st,是,稳定安全系数,，是随,而变化的，,越大，,n,st,也越大。同时,n,st,一般大于强度安全系数,。,n,w,为压杆的,工作安全系数,。它表示压杆的,临界载荷,P,cr,与所受的,轴向压力,P,的,比值,应不小于它的,稳定安全系数,n,st,，以上这种稳定计算方法称为,安全系数法,。,2024/11/15,28,11.4.2,安全因数法与稳定性设计准则,2024/11/15,29,11.4.3,压杆稳定性设计过程,2024/11/15,30,11.5,压杆稳定性分析与稳定性设计示例,2024/11/15,31,2024/11/15,32,2024/11/15,33,对于第一个问题：,对于,(a),，属于中长杆。而对于,(b),，属于粗短杆。,约等于原来的,2,倍。,约等于原来的,1.5,倍。,2024/11/15,34,2024/11/15,35,2024/11/15,36,2024/11/15,37,2024/11/15,38,2024/11/15,39,2024/11/15,40,11.6,结论与讨论,11.6.2,影响压杆承载能力的因素,2024/11/15,41,11.6.3,提高压杆承载能力的主要途径：,为了提高承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。,1.,尽量减小压杆杆长,对于细长杆，其,临界载荷,与,杆长,平方,成反比。因此，减小杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长，从而提高压杆承载能力的目的。,2024/11/15,42,2.,增强支承的刚性,支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大，例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将成数倍增加。,3.,合理选择截面形状,当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有用同的约束条件时，压杆将在,刚度最小,的主轴平面内,屈曲,。这时如果只增加截面某个方向的惯性矩,(,例如只增加矩形截面高度,),，并不能提高压杆的承载能力，最经济的办法是将,截面设计成中空心,的，且使,I,y,I,z,，从而加大横截面的惯性矩，并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。,因此，对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；,空心正方形,或,环形截面,比,实心,截面好。当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯 性短不等的截面,(,例如矩形截面,),，并使主惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束，尽量使两主惯性矩平而内压杆的柔度,相互接近,。,2024/11/15,43,4.,合理选用材料,在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力，例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳家 饲、合金饲以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。,但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的,比例极限,或,屈服强度,有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。,2024/11/15,44,11.6.4,稳定性计算,中需要注意的几个重要问题,1),正确地进