椭圆及其性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/8/9 Sunday,#,2024/11/15,椭圆及其性质.pptx,2023/10/9椭圆及其性质.pptx,1,解析,本题考查椭圆与双曲线的几何性质.,解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D,是双曲线,N,的两条渐近线与椭圆,M,的四个交点,F,1,F,2,为椭,圆,M,的两个焦点.,直线,AC,是双曲线,N,的一条渐近线,且其方程为,y,=,x,=,.设,m,=,k,则,n,=,k,则双曲线,N,的离心率,e,2,=,=2.,连接,F,1,C,在正六边形,ABF,2,CDF,1,中,可得,F,1,CF,2,=90,CF,1,F,2,=30,.,答案,-1;2,解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质.答案-1;2,2,解法二:双曲线,N,的离心率同解法一.由题意可得,C,点坐标为,代入椭圆,M,的方程,并结,合,a,b,c,的关系,联立得方程组,解得,=,-1,.,方法总结,求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到,a,c,所满足的关系,从而求,出,c,与,a,的比值,即得离心率.,设椭圆的焦距为2,c,则|,CF,2,|=,c,|,CF,1,|=,c,再由椭圆的定义得|,CF,1,|+|,CF,2,|=2,a,即(+1),c,=2,a,椭,圆,M,的离心率,e,1,=-1.,解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代,3,2.,(2014北京文,19,14分)已知椭圆,C,:,x,2,+2,y,2,=4.,(1)求椭圆,C,的离心率;,(2)设,O,为原点.若点,A,在直线,y,=2上,点,B,在椭圆,C,上,且,OA,OB,求线段,AB,长度的最小值.,解析,(1)由题意,知椭圆,C,的标准方程为,+,=1.,所以,a,2,=4,b,2,=2,从而,c,2,=,a,2,-,b,2,=2.,因此,a,=2,c,=,.,故椭圆,C,的离心率,e,=,=,.,(2)设点,A,B,的坐标分别为(,t,2),(,x,0,y,0,),其中,x,0,0.,因为,OA,OB,所以,=0,即,tx,0,+2,y,0,=0,解得,t,=-,.,又,+2,=4,所以|,AB,|,2,=(,x,0,-,t,),2,+(,y,0,-2),2,=,+(,y,0,-2),2,=,+,+,+4=,+,+,+4,2.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2,4,=,+,+4(0,4).,因为,+,4(0,4),且当,=4时等号成立,所以|,AB,|,2,8.,故线段,AB,长度的最小值为2,.,评析,本题考查椭圆的标准方程、几何性质、点与椭圆的关系以及弦长问题的求解.考查方,程思想、函数思想以及整体代换思想的应用,同时考查考生的运算求解能力.正确选择参数是,解决本题的关键,再利用基本不等式求最值时应注意参数的取值范围.本题对理科学生有很好,的借鉴作用.,=+4(0,b,0)的左、右焦点,A,是,C,的左顶点,点,P,在过,A,且斜率为,的直线上,PF,1,F,2,为等腰三角形,F,1,F,2,P,=120,则,C,的离心率为,(),A.,B.,C.,D.,答案D,本题考查直线方程和椭圆的几何性质.,由题意易知直线,AP,的方程为,y,=,(,x,+,a,),直线,PF,2,的方程为,y,=,(,x,-,c,).,联立得,y,=,(,a,+,c,),如图,过,P,向,x,轴引垂线,垂足为,H,则,PH,=,(,a,+,c,).,B组统一命题、省(区、市)卷题组答案D本题考查,6,所以sin 60,=,=,=,即,a,+,c,=5,c,即,a,=4,c,所以,e,=,=,.故选D.,解题关键,通过解三角形得到,a,与,c,的等量关系是解题的关键.,因为,PF,2,H,=60,PF,2,=,F,1,F,2,=2,c,PH,=(,a,+,c,),所以sin 60=,解题关键通过解三角形得到a,7,2,.(2017浙江,2,5分)椭圆,+,=1的离心率是,(),A.,B.,C.,D.,答案B,本题考查椭圆的标准方程和几何性质.,由题意得,a,=3,c,=,离心率,e,=,=,.故选B.,易错警示,1.把椭圆和双曲线中的,a,b,c,之间的关系式记混,而错选A.,2.把离心率记成,e,=,或,e,=,而错选C或D.,2.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是(,8,3,.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)的左、右顶点分别为,A,1,A,2,且以线段,A,1,A,2,为直径的圆与直线,bx,-,ay,+2,ab,=0相切,则,C,的离心率为,(),A.,B.,C.,D.,答案A,本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.,以线段,A,1,A,2,为直径的圆的方程为,x,2,+,y,2,=,a,2,该圆与直线,bx,-,ay,+2,ab,=0相切,=,a,即2,b,=,a,2,=3,b,2,a,2,=,b,2,+,c,2,=,e,=,=,.,方法技巧,椭圆离心率的求法:,(1)定义法:根据条件求出,a,c,直接利用公式,e,=,求解.,(2)方程法:根据已知条件建立关于,a,b,c,的齐次式,然后转化为关于,e,的方程求解.注意要根据,e,的,范围取舍方程的解.,3.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C:+=1,9,4,.(2016课标全国,11,5分)已知,O,为坐标原点,F,是椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)的左焦点,A,B,分别,为,C,的左,右顶点.,P,为,C,上一点,且,PF,x,轴.过点,A,的直线,l,与线段,PF,交于点,M,与,y,轴交于点,E,.若,直线,BM,经过,OE,的中点,则,C,的离心率为,(),A.,B.,C.,D.,答案A,由题意知过点,A,的直线,l,的斜率存在且不为0,故可设直线,l,的方程为,y,=,k,(,x,+,a,),当,x,=-,c,时,y,=,k,(,a,-,c,),当,x,=0时,y,=,ka,所以,M,(-,c,k,(,a,-,c,),E,(0,ka,).如图,设,OE,的中点为,N,则,N,由于,B,M,N,三点共线,所以,k,BN,=,k,BM,即,=,所以,=,即,a,=3,c,所以,e,=,.故选A.,4.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是,10,思路分析,根据题意设出过点,A,的直线,l,的方程,从而求出点,M,和点,E,的坐标,进一步写出线段,OE,中点的坐标,利用三点共线建立关于,a,c,的方程,得到,a,c,的关系式,从而求出椭圆的离心率.求,解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.,方法点拨,求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到,a,c,所满足的关系,从,而利用,e,=,求得离心率.,思路分析根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点,11,5,.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为,k,的直线,l,与椭圆,C,:,+,=1交于,A,B,两点,线段,AB,的中,点为,M,(1,m,)(,m,0).,(1)证明:,k,-,;,(2)设,F,为,C,的右焦点,P,为,C,上一点,且+=0.证明:|,|,|成等差数列,并求该数,列的公差.,5.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l,12,解析,本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.,(1)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,+,=1,+,=1.,两式相减,并由,=,k,得,+,k,=0.,由题设知,=1,=,m,于是,k,=-,.,由题设得0,m,故,k,-,.,(2)由题意得,F,(1,0).设,P,(,x,3,y,3,),则(,x,3,-1,y,3,)+(,x,1,-1,y,1,)+(,x,2,-1,y,2,)=(0,0).,由(1)及题设得,x,3,=3-(,x,1,+,x,2,)=1,y,3,=-(,y,1,+,y,2,)=-2,m,b,0)的左,右焦点,M,是,C,上一点,且,MF,2,与,x,轴垂直.直线,MF,1,与,C,的另一个交点为,N,.,(1)若直线,MN,的斜率为,求,C,的离心率;,(2)若直线,MN,在,y,轴上的截距为2,且|,MN,|=5|,F,1,N,|,求,a,b,.,6.(2014课标,20,12分,0.185)设F1,F2,16,解析,(1)根据,c,=,及题设知,M,2,b,2,=3,ac,.,将,b,2,=,a,2,-,c,2,代入2,b,2,=3,ac,解得,=,或,=-2(舍去).,故,C,的离心率为,.,(2)由题意,得原点,O,为,F,1,F,2,的中点,MF,2,y,轴,所以直线,MF,1,与,y,轴的交点,D,(0,2)是线段,MF,1,的中,点,故,=4,即,b,2,=4,a,.,由|,MN,|=5|,F,1,N,|得|,DF,1,|=2|,F,1,N,|.,设,N,(,x,1,y,1,),由题意知,y,1,b,0)相交于,A,B,两点,若,M,是线段,AB,的中点,则椭圆,C,的离心率等于,.,答案,解析,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,+,=1,+,=1.,、两式相减并整理得,=-,.,把已知条件代入上式得,-,=-,=,故椭圆的离心率,e,=,=,.,评析,本题考查了直线和椭圆的位置关系及线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的,关键.本题也可以利用韦达定理求解.,2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-,20,3.,(2014辽宁,15,5分)已知椭圆,C,:,+,=1,点,M,与,C,的焦点不重合.若,M,关于,C,的焦点的对称点,分别为,A,B,线段,MN,的中点在,C,上,则|,AN,|+|,BN,|=,.,答案,12,解析,解法一:由椭圆方程知椭圆,C,的左焦点为,F,1,(-,0),右焦点为,F,2,(,0).则,M,(,m,n,)关于,F,1,的,对称点为,A,(-2,-,m,-,n,),关于,F,2,的对称点为,B,(2,-,m,-,n,),设,MN,的中点为(,x,y,),所以,N,(2,x,-,m,2,y,-,n,).,所以|,AN,|+|,BN,|=,+,=2,+,故由椭圆定义可知|,AN,|+|,BN,|=2,6=12.,3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M,21,评析,本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算求解能力,也考查数形结合思想,难度适宜.,解法二:根据已知条件画出图形,如图.设,MN,的中点为,P,F,1,、,F,2,为椭圆,C,的焦点,连接,PF,1,、,PF,2,.,显然,PF,1,是,MAN,的中位线,PF,2,是,MBN,的中位线,|,AN,|+|,BN,|=2|,PF,1,|+2|,PF,2,|=2(|,PF,1,|+|,PF,2,|)=2,6=12.,评析本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算求解能,22,4.,(2014安徽,14,5分)设,F,1,F,2,分别是椭圆,E,:,x,2,+,=1(0,b,1)的左、右焦点,过点,F,1,的直线交椭圆,E,于,A,B,两点.若|,AF,1,|=3|,F,1,B,|,AF,2,x,轴,则椭圆,E,的方程为,.,答案,x,2,+,y,2,=1,解析,不妨设点,A,在第一象限,AF,2,x,轴,A,(,c,b,2,)(其中,c,2,=1-,b,2,0,b,0).,又|,AF,1,|=3|,F,1,B,|,由,=3,得,B,代入,x,2,+,=1得,+,=1,又,c,2,=1-,b,2,b,2,=,.,故椭圆,E,的方程为,x,2,+,y,2,=1.,4.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x,23,5.,(2015陕西,20,12分)已知椭圆,