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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,圆的标准方程,4.1.1,11/15/2024,圆的标准方程4.1.19/29/2023,1,让我们一起来欣赏如下几幅风景画，我们能发现什么几何图形？,11/15/2024,让我们一起来欣赏如下几幅风景画，我们能发现什么几何,2,11/15/2024,9/29/2023,3,设此圆的半径为r米，如何写出此圆的方程？,11/15/2024,设此圆的半径为r米，如何写出此圆的方程？9/29,4,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线,在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,A,M,r,x,O,y,问题,11/15/2024,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直,5,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了,因此一个圆最基本要素是,圆心,和,半径,x,O,y,A,(,a,b,),M,r,(,x,y,),引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）,A,的位置用坐标(,a,b,)表示，半径,r,的大小等于圆上任意点,M,(,x,y,)与圆心,A,(,a,b,)的距离,11/15/2024,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了xOyA,6,符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的圆的集合：,圆的方程,x,O,y,A,(,a,b,),M,r,(,x,y,),问题,11/15/2024,符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这,7,圆上任意点,M,(,x,y,)与圆心,A,(,a,b,)之间的距离能用什么公式表示？,圆的方程,根据两点间距离公式：,则点,M,、,A,间的距离为：,即：,11/15/2024,圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距,8,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点,M,(,x,y,)在圆上，由前面讨论可知，点,M,的坐标适合方程；反之，若点,M,(,x,y,)的坐标适合方程，这就说明点,M,与圆心的距离是,r,，即点,M,在圆心为,A,(,a,b,)，半径为,r,的圆上,问题,把这个方程称为圆心为,A,(,a,b,)，半径长为,r,的圆的方程，把它叫做,圆的标准方程,（standard equation of circle）.,11/15/2024,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标,9,注意以下三点：,1已知圆心,C,(,a,，,b,)，半径为,r,，则圆的标准方程为(,x,a,),2,+(,y,b,),2,=,r,2,.,2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为,x,2,+,y,2,=,r,2,.,3圆的标准方程的,优点,在于明确地指出了,圆心和半径,.,11/15/2024,注意以下三点：1已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准,10,11/15/2024,9/29/2023,11,点M,0,(x,0,y,0,)在圆,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,上,、,内,、,外,的条件是什么？,通过比较,点到圆心的距离,和,半径,r,的大小关系,探究,点M,0,在圆上,点M,0,在圆内,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,=r,2,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,r,2,点M,0,在圆外,11/15/2024,点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b,12,例1,写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ，是否在这个圆上,解：,圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,典 型 例 题,A,x,y,o,M,1,M,2,点M,1,在圆上，点M,2,在,圆内,11/15/2024,例1 写出圆心为 ，半径,13,例2,的三个顶点的坐标分别,A,(5,1),B,(7,3)，,C,(2,8)，求它的外接圆的方程,分析,：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解,：设所求圆的方程是 （1）,因为,A,(5,1),B,(7,3)，,C,(2,8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,典 型 例 题,11/15/2024,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1),14,所以，的外接圆的方程,典型例题,解此方程组，得：,分析,：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解,：,例2,的三个顶点的坐标分别,A,(5,1),B,(7,3)，,C,(2,8)，求它的外接圆的方程,11/15/2024,所以，的外接圆的方程,15,小结:,1圆的标准方程中含有,三个参变数,，必须具备,三个独立的条件,；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用,待定系数法,求圆的方程。,2求圆的标准方程的一般步骤为：,（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为,(,x,a,),2,+(,y,b,),2,=,r,2,；,11/15/2024,小结:1圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条,16,（2）根据已知条件，建立关于,a,、,b,、,r,的方程组；,（3）解此方程组，求出,a,、,b,、,r,的值；,（4）将所得的,a,、,b,、,r,的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.,11/15/2024,（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；9/29/2,17,例题分析,例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.,y,x,O,C,A,B,l,11/15/2024,例题分析例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-,18,例3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1)和,B,(2,2)，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0，求圆心为,C,的圆的标准方程,分析,：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1)和,B,(2,2)，由于圆心,C,与,A,B,两点的距离相等，所以圆心,C,在线段,AB,的垂直平分线 上又圆心,C,在直线,l,上，因此圆心,C,是直线,l,与直线 的交点，半径长等于|,CA,|或|,CB,|,解,：,因为,A,(1,1)和,B,(2,2)，所以线段,AB,的中点,D,的坐标,直线,AB,的斜率:,11/15/2024,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1,19,因此线段,AB,的垂直平分线 的方程是,即,圆心,C,的坐标是方程组,的解,例3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1)和,B,(2,2)，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0，求圆心为,C,的圆的标准方程,解,：,11/15/2024,因此线段AB的垂直平分线 的方程是即圆心C的坐标是方,20,所以圆心,C,的坐标是,圆心为,C,的圆的半径长,所以，圆心为,C,的圆的标准方程是,解此方程组，得,例3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1)和,B,(2,2)，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0，求圆心为,C,的圆的标准方程,解,：,11/15/2024,所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标,21,练习:,（1）圆心在点,C,(2,1)并过点,A,(2,2)；,（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .,(3)已知两点,P,1,(4，9)和,P,2,(6，3)，求以,P,1,P,2,为直径的圆的方程，,并判断,M,(6，9)和,N,(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?,11/15/2024,练习:9/29/2023,22,（1）圆心在点C(2，1)，并过点A(2，2)；,解：（1）所求圆的半径,r,=|,CA,|=5，因为圆心在点,C,(2，1)，所以所求圆的方程为(,x,+2),2,+(,y,1),2,=25.,11/15/2024,（1）圆心在点C(2，1)，并过点A(2，2)；解：（,23,（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .,解：（2）设圆心坐标为(,a,，,b,)，则圆的方程为(,x,a,),2,+(,y,b,),2,=5.,已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得,解得,或,因此所求圆的方程为(,x,1),2,+(,y,+1),2,=5或(,x,1),2,+(,y,3),2,=5。,11/15/2024,（2）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .解：,24,(3)已知两点,P,1,(4，9)和,P,2,(6，3)，求以,P,1,P,2,为直径的圆的方程，并判断,M,(6，9)和,N,(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?,解：由已知得圆心坐标为,C,(5，6)，半径,r,的平方为,r,2,=10,所以圆的方程为(,x,5),2,+(,y,6),2,=10，,将,M,，,N,点的坐标代入方程得,(65),2,+(96),2,=10，(55),2,+(36),2,10,所以点,M,在圆上，点,N,在圆内.,11/15/2024,(3)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2,25,例4求过点,A,(6，0)，,B,(1，5)，且圆心在直线,l,：2,x,7,y,+8=0上的圆的方程。,解法1.直线,AB,的斜率,k,=1，所以,AB,的垂直平分线,m,的斜率为1，,AB,的中点的横坐标和纵坐标分别为,x,=，,y,=.,因此直线,m,的方程为,y,=,x,，,即,x,y,1=0.,11/15/2024,例4求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x,26,又圆心在直线,l,上，所以圆心是直线,l,与直线,m,的交点，解联立方程组,得,所以圆心的坐标是,C,(3，2)，半径,r,=|,CA,|=，,所以圆的方程是(,x,3),2,+(,y,2),2,=13.,11/15/2024,又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程,27,解法2.设所求的圆的方程为(,x,a,),2,+(,y,b,),2,=,r,2,，由题意得,解得,所以圆的方程是(,x,3),2,+(,y,2),2,=13.,11/15/2024,解法2.设所求的圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2,28,练习题：,1圆(,x,1),2,+(,y,+1),2,=2的周长是（,）,（,A,）（,B,）2,（,C,）2 （,D,）4,C,11/15/2024,练习题：1圆(x1)2+(y+1)2=2的周长是（,29,2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（,）,（,A,）,x,2,+,y,2,=25,（,B,）,x,2,+,y,2,=5,（,C,）,(,x,3),2,+(,y,4),2,=25,，,（,D,）,(,x,+3),2,+(,y,+4),2,=25,，,C,11/15/2024,2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（,30,3已知圆心在,P,(2，3)并且与,y,轴相切，则该圆的方程是（,）,（,A,）,(,x,2),2,+(,y,+3),2,=4,（,B,）,(,x,+2),2,+(,y,3),2,=4,（,C,）,(,x,2),2,+(,y,+3),2,=9,（,D,）,(,x,+2),2,+(,y,3),2,=9,B,11/15/2024,3已知圆心在P(2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（,31,4过点,A,(1，1)，,B,(5，6)且圆心在直线,x,+,y,2=0上的圆的方程为（,）,（,A,）,(,x,3),2,+(,y,+1),2,=4,（,B,）,(,x,+3),2,+(,y,1),2,=4,（,C,）,(,x,1),2,+(,y,1),2,=4,（,D,）,(,x,+1),2,+(,y,+1),2,=4,C,11/15/2024,4过点A(1，1)，B(5，6)且圆心在直线x+y2=,32,知
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