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1.4,空间向量的应用,第一章,1.4.2,用空间向量研究距离、,夹角问题（第,1,课时）,1.,理解,点到直线,、,点到平面距离,的公式及其推导,.,2,.,了解,利用空间向量,求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面,、平面,到平面的距离的基本思想,.,核心素养：,数学推理、数学运算,.,学习目标,一,点,P,到,直线,l,的,距离,新知学习,二,点,P,到平面,的距离,思考,怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离,？,两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离,.,1.,空间内有三点,A,(2,1,3),，,B,(0,2,5),，,C,(3,7,0),，则点,B,到,AC,的中点,P,的距离,为,（）,C,即时巩固,2.,已知直线,l,过点,A,(1,，,1,2),，和,l,垂直的一个向量为,n,(,3,0,4),，则,P,(3,5,0),到,l,的距离,为,（）,C,3.,已知直线,l,与平面,相交于点,O,，,A,l,，,B,为线段,OA,的中点，若点,A,到平面,的距离为,10,，则点,B,到平面,的距离为,_.,5,4.,已知平面,的一个法向量为,n,(,2,，,2,1),，点,A,(,1,3,0),在平面,内，则点,P,(,2,1,4),到平面,的距离为,_.,一、点到直线的距离,例,1,如图，在空间直角坐标系中有长方体,ABCD,A,B,C,D,，,AB,1,，,BC,2,，,AA,3,，求点,B,到直线,A,C,的距离,.,典例剖析,解,因为,AB,1,，,BC,2,，,AA,3,，所以,A,(0,0,3),，,C,(1,2,0),，,B,(1,0,0),，,反思,感悟,用,向量法求点到直线的距离的一般步骤,(1),求直线的方向向量,.,(2),计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度,.,(3),利用勾股定理求解,.,另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化,.,跟踪,训练,已知在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,C,1,C,，,D,1,A,1,的中点，求点,A,到,EF,的距离,.,解,以,D,点为原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系如图所示,，,设,DA,2,，则,A,(2,0,0),，,E,(0,2,1),，,F,(1,0,2),，,二、点到平面的距离与直线到平面的,距离,例,2,如图，已知正方形,ABCD,的边长为,1,，,PD,平面,ABCD,，且,PD,1,，,E,，,F,分别为,AB,，,BC,的中点,.,(1),求点,D,到平面,PEF,的距离；,解,建立如图所示的空间直角坐标系，,设,DH,平面,PEF,，垂足为,H,，,x,y,z,1,，,(2),求直线,AC,到平面,PEF,的距离,.,解,连接,AC,，则,AC,EF,，直线,AC,到平面,PEF,的距离即为点,A,到平面,PEF,的距离，,平面,PEF,的一个法向量为,n,(2,2,3),，,反思,感悟,用,向量法求点面距的步骤,(1),建系：建立恰当的空间直角坐标系,.,(2),求点坐标：写出,(,求出,),相关点的坐标,.,(3),求向量：求出相关向量的坐标,(,，,内两不共线向量，平面,的法向量,n,).,(4),求距离,d,.,解,设正四棱柱的高为,h,(,h,0),，建立如图所示的空间直角坐标系,，,有,A,(0,0,，,h,),，,B,1,(1,0,0),，,D,1,(0,1,0),，,C,(1,1,，,h,),，,设平面,AB,1,D,1,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，得,n,(,h,，,h,，,1),，,解得,h,2.,故正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的高为,2.,1.,已知,A,(0,0,2),，,B,(1,0,2),，,C,(0,2,0),，则点,A,到直线,BC,的距离,为,（）,A,解析,A,(0,0,2),，,B,(1,0,2),，,C,(0,2,0),，,点,A,到直线,BC,的距离为,随堂小测,2.,若三棱锥,P,ABC,的三条侧棱两两垂直，且满足,PA,PB,PC,1,，则点,P,到平面,ABC,的距离,是,（）,解析,分别以,PA,，,PB,，,PC,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，,则,A,(1,0,0),，,B,(0,1,0),，,C,(0,0,1).,可以求得平面,ABC,的一个法向量为,n,(1,1,1),，,D,3.,已知棱长为,1,的,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，则,平面,AB,1,C,与,平面,A,1,C,1,D,之间的距离,为,（）,B,解析,建立如图所示的空间直角坐标系，,则,A,1,(1,0,0),C,1,(0,1,0),D,(0,0,1),A,(1,0,1,),，,设,平面,A,1,C,1,D,的,一个法向量为,m,(,x,，,y,，,1),，,显然平面,AB,1,C,平面,A,1,C,1,D,，,4.,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，点,E,是,A,1,B,1,的中点，则点,A,到直线,BE,的距离,是,（）,解析,建立空间直角坐标系如图所示，,B,5,.,如图，已知长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，,A,1,A,5,，,AB,12,，则直线,B,1,C,1,到平面,A,1,BCD,1,的距离,是,（）,C,则,C,(0,12,0),，,D,1,(0,0,5,).,设,B,(,x,，,12,0),，,B,1,(,x,，,12,5)(,x,0).,设平面,A,1,BCD,1,的法向量为,n,(,a,，,b,，,c,),，,6.,已知直线,l,经过点,A,(2,3,1),，且向量,n,(1,0,，,1),所在直线与,l,垂直，则点,P,(4,3,2),到,l,的距离为,_.,7.,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，,E,，,F,，,G,分别是,C,1,C,，,D,1,A,1,，,AB,的中点，则点,A,到平面,EFG,的距离为,_.,解析,建系如图,，则,A,(2,0,0),，,E,(0,2,1),，,F,(1,0,2),，,G,(2,1,0),，,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,EFG,的法向量，,点,A,到平面,EFG,的距离为,d,，,令,z,1,，此时,n,(1,1,1),，,8.,如图所示，在直二面角,D,AB,E,中，四边形,ABCD,是边长为,2,的正方形，,AEB,是等腰直角三角形，其中,AEB,90,，则点,D,到平面,ACE,的距离为,_.,解析,以,AB,的中点,O,为坐标原点，分别以,OE,，,OB,所在的直线为,x,轴、,y,轴，建立如图所示的空间直角坐标系,，则,A,(0,，,1,0),，,E,(1,0,0),，,D,(0,，,1,2),，,C,(0,1,2,).,设平面,ACE,的法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,1,，,n,(,1,1,，,1).,9.,在底面是直角梯形的四棱锥,P,ABCD,中，侧棱,PA,底面,ABCD,，,BC,AD,，,ABC,90,，,PA,AB,BC,2,，,AD,1,，则,AD,到平面,PBC,的距离为,_.,解析,AD,到平面,PBC,的距离等于点,A,到平面,PBC,的距离,.,由已知可得,AB,，,AD,，,AP,两两垂直,.,则,A,(0,0,0),，,B,(2,0,0),，,C,(2,2,0),，,P,(0,0,2),，,设平面,PBC,的法向量为,n,(,a,，,b,，,c,),，,取,a,1,，得,n,(1,0,1),，,10.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,AC,AA,1,2,，,BAC,90,，,M,为,BB,1,的中点，,N,为,BC,的中点,.,(1),求点,M,到直线,AC,1,的距离；,解,建立如图所示的空间直角坐标系,，则,A,(0,0,0),，,A,1,(0,0,2),，,M,(2,0,1),，,C,1,(0,2,2),，,直线,AC,1,的一个单位方向向量为,(2),求点,N,到平面,MA,1,C,1,的距离,.,解,设平面,MA,1,C,1,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,x,1,，得,z,2,，故,n,(1,0,2),为平面,MA,1,C,1,的一个法向量，,1.,知识清单：,(1),点到直线的距离,.,(2),点到平面的距离与直线到平面的距离,.,2.,方法归纳：数形结合、转化法,.,3.,常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用,.,对公式推导过程的理解是应用的基础,.,课堂小结,
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