资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,9.1.2,余弦定理,9.1.2余弦定理,2020新教材高中数学第九章解三角形9,一、余弦定理及其证明,1,.,思考,(1),余弦定理是如何证明的,?,提示,:,证法,1,课本使用了向量的方法推导出了余弦定理,所以,|,c,|,2,=,c,c=,(,b-a,),2,=a,2,-,2,a,b+b,2,=a,2,-,2,|a|b|,cos,C+,b,2,所以,c,2,=a,2,+b,2,-,2,ab,cos,C.,一、余弦定理及其证明提示:证法1 课本使用了向量的方法推导出,证法,2,(,勾股定理法,),在,ABC,中,已知边,a,b,及角,C,求边,c,的长,.,如果,C=,90,那么可以用勾股定理求,c,的长,;,如果,C,90,那么是否仍可以用勾股定理来解呢,?,很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算,.,当,C,为锐角时,(,图,),高,AD,把,ABC,分成两个直角三角形,ADB,和,ADC,;,当,C,为钝角时,(,图,),作高,AD,则构造了两个直角三角形,ADB,和,ADC,算出,c,的关键是先算出,AD,和,BD,(,或,DC,),.,AD=b,sin,C,DC=b,cos,C,BD=a-b,cos,C.,在,Rt,ADB,中,运用勾股定理,得,c,2,=AD,2,+BD,2,=b,2,sin,2,C+,(,a-b,cos,C,),2,=a,2,+b,2,-,2,ab,cos,C.,同理可得,b,2,=a,2,+c,2,-,2,ac,cos,B,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A.,证法2(勾股定理法)在ABC中,已知边a,b及角C,求边,证法,3,利用坐标法证明,如图,建立直角坐标系,则,A,(0,0),B,(,c,cos,A,c,sin,A,),C,(,b,0)(,写出三点的坐标,),.,所以,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A.,证法3 利用坐标法证明所以a2=b2+c2-2bccos A,证法,4,(,用正弦定理证明,),因为,a=,2,R,sin,A,b=,2,R,sin,B,c=,2,R,sin,C.,所以,b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A=,4,R,2,(sin,2,B+,sin,2,C-,2sin,B,sin,C,cos,A,),=,4,R,2,sin,2,B+,sin,2,C+,2sin,B,sin,C,cos(,B+C,),=,4,R,2,sin,2,B+,sin,2,C-,2sin,2,B,sin,2,C+,2sin,B,sin,C,cos,B,cos,C,=,4,R,2,sin,2,B,(1,-,sin,2,C,),+,sin,2,C,(1,-,sin,2,B,),+,2sin,B,sin,C,cos,B,cos,C,=,4,R,2,sin,2,B,cos,2,C+,sin,2,C,cos,2,B+,2sin,B,sin,C,cos,B,cos,C,=,4,R,2,sin,2,(,B+C,),=,4,R,2,sin,2,A=a,2,.,同理可证,b,2,=a,2,+c,2,-,2,ac,cos,B,c,2,=a,2,+b,2,-,2,ab,cos,C.,证法4(用正弦定理证明),(2),勾股定理和余弦定理的联系与区别,?,提示,:,二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系,是余弦定理的特例,.,(2)勾股定理和余弦定理的联系与区别?,2,.,填空,余弦定理的表示及其推论,2.填空,3,.,做一做,(1),判断正误,.,余弦定理只适用于锐角三角形,.,(,),余弦定理不适用于钝角三角形,.,(,),已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了,.,(,),已知三边,则这个三角形确定了,.,(,),解析,:,余弦定理适用于任意三角形,故,均不正确,;,根据余弦定理,已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形确定了,故,正确,.,答案,:,3.做一做,答案,:,B,(3),在,ABC,中,若,a,2,=b,2,+bc+c,2,则,A=,.,答案:B(3)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A,(4),在,ABC,中,AB=,4,BC=,3,B=,60,则,AC,等于,.,(4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,则AC等,二、用余弦定理解三角形的问题,1,.,思考,(1),已知三角形的两边,a,b,及一边,a,的对角,A,解三角形,有几种方法,?,提示,:,不妨设已知,a,b,A,形内角和定理求得,C,最后求得边,c.,方法二,:,由余弦定理,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A,得边,c,而后由余弦或正弦定理求得,B,C.,二、用余弦定理解三角形的问题形内角和定理求得C,最后求得边c,(2),使用余弦定理有哪些注意事项,?,提示,:,使用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式,.,一般地,求边长时,使用余弦定理,;,求角时,使用定理的推论,.,余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择,.,余弦定理及其推论将用,“,边、角、边,”,和,“,边、边、边,”,判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式,.,要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的应用,.,(2)使用余弦定理有哪些注意事项?,利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角,.,已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余弦定理,.,如已知,a,b,A,可先由余弦定理求出,c,即,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A.,此时,边,c,的解的个数对应三角形解的个数,.,在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一,.,利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程求正实数,.,因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件,.,利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角.,2,.,填空,利用余弦定理可以解决以下两类问题,:,(1),已知两边及,夹角,解三角形,;,(2),已知,三边,解三角形,.,2.填空,3,.,做一做,A.4B.8C.4,或,8D.,无解,答案,:,C,3.做一做 A.4B.8C.4或8D.无解 答案:C,答案,:,D,答案:D,(3),在边长为,5,7,8,的三角形中,最大角与最小角的和是,.,解析,:,设第三个角为,由于,8,7,5,故,的对边长为,7,由余弦定理,答案,:,120,(3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,已知两边和一角解三角形,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知两边,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,反思感悟,已知两边及一角解三角形的方法,(1),当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解,.,(2),当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论,.,利用余弦定理求解相对简便,.,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,变式训练,1,(1),已知,ABC,中,a=,1,b=,1,C=,120,则边,c=,.,答案,:,4,或,5,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,已知三边解三角形,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测已知三边,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,反思感悟,已知三边解三角形的方法,(1),先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角,;,再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角,;,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角,.,(2),利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角,.,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,判定三角形的形状,例,3,在,ABC,中,若,b,2,sin,2,C+c,2,sin,2,B=,2,bc,cos,B,cos,C,试判断,ABC,的形状,.,解,:,解法一,:,因为,b,2,sin,2,C+c,2,sin,2,B=,2,bc,cos,B,cos,C,所以利用正弦定理可得,sin,2,B,sin,2,C+,sin,2,C,sin,2,B=,2sin,B,sin,C,cos,B,cos,C,因为,sin,B,sin,C,0,所以,sin,B,sin,C=,cos,B,cos,C,所以,cos(,B+C,),=,0,所以,cos,A=,0,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,解法二,:,已知等式可化为,b,2,-b,2,cos,2,C+c,2,-c,2,cos,2,B=,2,bc,cos,B,cos,C,由余弦定理可得,所以,b,2,+c,2,=a,2,所以,ABC,为直角三角形,.,解法三,:,已知等式变形为,b,2,(1,-,cos,2,C,),+c,2,(1,-,cos,2,B,),=,2,bc,cos,B,cos,C,所以,b,2,+c,2,=b,2,cos,2,C+c,2,cos,2,B+,2,bc,cos,B,cos,C,因为,b,2,cos,2,C+c,2,cos,2,B+,2,bc,cos,B,cos,C,=,(,b,cos,C+c,cos,B,),2,=a,2,所以,b,2,+c,2,=a,2,所以,ABC,为直角三角形,.,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测解法二:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,反思感悟,判断三角形形状的方法,已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法,当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形,当等式两边含有角的正弦的同次幂时,常用正弦定理变形,当含有边的积式及边的平方和与差的形式时,常考虑用余弦定理变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等,.,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思维辨析,当堂检测,用余弦定理证明问题,证明,:,在,ABC,中,由余弦定理得,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A,b,2,=a,2,+c,2,-,2,ac,cos,B,所以,a,2,-b,2,=b,2,
展开阅读全文