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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,5.1,二次型的矩阵表示,*,第五章 二次型,5.1,二次型的矩阵表示,5.2,标准形,5.3,唯一性,5.,4,正定二次型,章小结与习题,第五章 二次型5.1 二次型的矩阵表示5.2 标准形5,1,一、,n,元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵的合同,四、小结,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结5.,2,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,(标准方程),中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入:,5.1,二次型的矩阵表示,解析几何中选择适当角度,逆时针旋转坐标轴 (标准方程)中,3,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二次齐次多项式,(标准形),5.1,二次型的矩阵表示,代数观点下作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式二次齐次,4,一、,n,元二次型,1、定义,：,设,P,为数域，,称为数域,P上的一个,n,元二次型,n,个文字 的二次齐次多项式,5.1,二次型的矩阵表示,一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二,5,注意,2),式 也可写成,1),为了计算和讨论的方便,式中 的系数,写成,5.1,二次型的矩阵表示,注意2)式 也可写成1)为了计算和讨论的方便,式中,6,1）,约定中,a,ij,=,a,ji,，ij,，由,x,i,x,j,x,j,x,i,，,有,2、二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,1）约定中aij=aji，ij，由 xixjxjx,7,则矩阵A,称为,二次型 的矩阵,.,5.1,二次型的矩阵表示,则矩阵A称为二次型 的矩阵.,8,5.1,二次型的矩阵表示,5.1 二次型的矩阵表示,9,于是有,5.1,二次型的矩阵表示,于是有5.1 二次型的矩阵表示,10,注意,:,2）,二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,若,且,，则,1）,二次型的矩阵总是对称矩阵,即,（这表明在选定文字下，二次型,完全由对称矩阵A决定.),5.1,二次型的矩阵表示,注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二,11,例11）实数域R,上的,2,元二次型,3）,复数域,C,上的,4,元二次型,它们的矩阵分别是：,2）,实数域,R,上的,3,元二次型,5.1,二次型的矩阵表示,例11）实数域R上的2元二次型 3）复数域C上的4元二次型,12,二、非退化线性替换,1、定义,：,是两组文字,，关系式,称为由,的一个,线性替换,;,若系数行列式|c,ij,|,0,则称,为,非退化线性替换,.,5.1,二次型的矩阵表示,二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式称为由,13,.,0,它是非退化的.,系数行列式,例2,解析几何中的坐标轴按逆时针方向,旋转解角度,即变换,5.1,二次型的矩阵表示,.0它是非退化的.系数行列式 例2 解析几何中的坐标,14,2、线性替换的矩阵表示,则,可表示为,X=CY,若|C|,0,，,则,为非退化线性替换.,注,1,）,或为非退化的,为可逆矩阵.,2,）若,XCY,为非退化线性替换,，,则有非退化线性替换.,5.1,二次型的矩阵表示,2、线性替换的矩阵表示则可表示为X=CY注,15,即，B为对称矩阵.,3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,事实上，,是一个 二次型.,5.1,二次型的矩阵表示,即，B为对称矩阵.3、二次型经过,16,三、矩阵的合同,1）,合同具有,对称性：,传递性:,即C,1,C,2,可逆.,反身性:,注,:,1、定义,：,设 ，若存在可逆矩阵,使 ，则称,A,与,B,合同,.,5.1,二次型的矩阵表示,三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反,17,3）,与对称矩阵合同的矩阵是,对称矩阵.,2,）,合同矩阵具有相同的秩.,2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与,A,与,B,合同.,二次型,XAX,可经非退化线性替换化为二次型,YBY,进而，有:,C可逆,原二次型矩阵是合同的,.,5.1,二次型的矩阵表示,3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的,18,例2证明：矩阵,A与B合同，其中,一个排列.,证：作二次型,5.1,二次型的矩阵表示,例2证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型5.1,19,故矩阵,A,与,B,合同.,对作非退化线性替换,则二次型化为（注意,的系数为）,5.1,二次型的矩阵表示,故矩阵A与B合同.对作非退化线性替换则二次型化,20,练习,写出下列二次型的矩阵,其中,5.1,二次型的矩阵表示,练习 写出下列二次型的矩阵其中5.1 二次型的矩阵表示,21,答案,5.1,二次型的矩阵表示,答案5.1 二次型的矩阵表示,22,-,-,4.,解：,5.1,二次型的矩阵表示,-4.解：5.1 二次型的矩阵表示,23,四、小结,n,元二次型,：,非退化线性替换：,，或X=CY，,|,C,|,0.,基本概念,矩阵的合同：,5.1,二次型的矩阵表示,四、小结 n元二次型：非退化线性替换：，或X=CY，|C,24,基本结论,1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.,3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.,2、,二次型,X,AX,可经非退化线性替换化为二型,Y,BY,5.1,二次型的矩阵表示,基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的,25,
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