实变函数精编版ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Lebesgue,积分思想简介,序言,Lebesgue积分思想简介序言,微积分基本定理,若,f(x),在,a,b,上,连续,，则,若,F(x),在,a,b,上,连续,，则,导数（切线斜率）,x,i-1,x,i,定积分（面积）,微积分基本定理若f(x)在a,b上连续，则若F(x),微积分发展的三个阶段,创立（,17,世纪）：,Newton,（力学）,Leibniz,（几何）,(,无穷小,),严格化（,19,世纪）,:,Cauchy,Riemann,Weierstrass,(,极限理论,(-N,-,语言,),，实数理论,),外微分形式（,20,世纪初）：,Grassmann,Poincare,Cartan,（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）,微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）L,微积分继续发展的三个方向,外微分形式,(,整体微分几何,),（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）,复数域上的微积分（复变函数）,微积分的深化和拓展（实变函数）,微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何),（,1,）,1881,年,Volterra,作出一可微函数，导函数有界但不,Riemann,可积；,Riemann,积分的局限性：,例：,Dirichlet,函数不,Riemann,可积。,上积分,下积分,（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但,1902,年,Lebesgue,在其论文“积分、长度与面积”中提出新见解，由此推进了积分理论的发展。（参见：,Lebesgue,积分的产生及其影响，数学进展，,2002.1,）,在,Riemann,积分意义下极限运算与积分运算不一定,可交换次序，即：,不一定成立。,（,2,）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）,1902年Lebesgue在其论文“积分、长度,勒贝格思路：,集合,集合“长度”（测度）,定义新的积分（,L-,积分）,积分与微分关系,勒贝格思路：集合 定义新的积分（L-积分）,从这个知识脉络图，我们可以看,到，在实变函数中，集合的概念被经,从今天开始，我门来学习第一章有,常应用，所以，我们要先研究集合。,关集合的知识。,从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集,实变函数论产生于,19,世纪末，,20,世纪初，主要由法国数学家勒贝格（,Lebesgue,1875,1941,）创建它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美,实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要,1.Riemann,积分回顾,(1)Riemann,积分的定义,积分与分割、介点集的取法无关,几何意义（非负函数）：,函数图象下方图形的面积。,x,i-1,x,i,其中,1.Riemann积分回顾(1)Riemann积分的定义,(2)Riemann,可积的充要条件,f(x),在,a,b,上,Riemann,可积,其中：,x,i-1,x,i,x,i-1,x,i,(2)Riemann可积的充要条件 f(x)在,(2)Riemann,可积的充要条件,f(x),在,a,b,上,Riemann,可积,其中：,x,i-1,x,i,(2)Riemann可积的充要条件f(x)在a,b上,(2)Riemann,可积的充分条件,f(x),在,a,b,上,Riemann,可积的充分条件是？,注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数,Riemann,可积,x,i-1,x,i,(2)Riemann可积的充分条件 f(x)在,例：,Dirichlet,函数不,Riemann,可积。,注：,D(x),的下方图形,可看成由,0,1,中每个,有理点长出的单位线,段组成。,上积分,下积分,0 1,例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x),Riemann,积分,x,i-1,x,i,为使,f(x),在,a,b,上,Riemann,可积，,按,Riemann,积分思想，必须使得,分划后在多数小区间上的振幅,足够小，这迫使在较多地方振动,的函数不可积。,Lebesgue,提出，,不从,分割定义域,入手，,而从,分割值域,入手；,(,积分与分割、介点集的取法无关,),Riemann积分xi-1 xi为使f(x)在a,b上,2.Lebesgue,积分思想简介,1902,年,Lebesgue,在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：,Lebesgue,积分的产生及其影响，数学进展，,2002.1,）,y,i,y,i-1,用,mE,i,表示,E,i,的“,长度,”,2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在,Lebesgue,积分思想,y,i,y,i-1,f(x),在,E,i,上的振幅不会大于,其中,mE,i,表示,E,i,的“,长度,”，,即：,Lebesgue积分思想yif(x)在 Ei上的振幅不会大于,对此,Lebesgue,自己曾经作过一个比喻，他说：,假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的,面值的大小分类,，然后,计算每一类的面额总值,，,再相加,，这就是,Lebesgue,积分思想,；,如不按面额大小分类，而是按从钱袋,取出的先后次序,来,计算总数,，那就是,Riemann,积分思想,（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，,高等理科教学,，,2000.1,）,即采取,对值域作分划,，相应得到对,定义域,的分划,（,每一块不一定是区间,），,使得在每一块上的振幅都很小，,即,按函数值的大小对定义域的点加以归类,y,i,y,i-1,0 1,对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：即采取对值域,3.Lebesgue,积分构思产生的问题,(1),集合,E,i,的,“,长度,”,如何定义,（第三章 测度论）；,(2),怎样的,函数,可使,E,i,都有,“,长度,”,（第四章 可测函数）；,(3),定义,Lebesgue,积分,并研究其性质,（第五章 积分论）；,第一章 集合，第二章 点集，第六章 微分与不定积分,y,i,y,i-1,3.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei 的“,4.,实变函数论的特点,1,）高度抽象；,a)“,似是而非”,例,1.,有许多学生排成一列，且男女生交叉排列，在其中任取一片段，,男女生的个数有三种可能：或男女一样多、或男生多一个、或女生,多一个。,也就是说在任意片段中男女生个数至多相差一个。,直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数之间,有无理数，任意两个无理数之间有有理数，任取一节线段，有理,数、无理数的个数似乎只有三种可能,：或有理数无理数一样多、,或有理数多一个、或无理数多一个。,也就是说人一片段中有理数,和无理数的个数至多相差一个。,4.实变函数论的特点1）高度抽象；a)“似是而非”例1.有,严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数,要比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那,样的微不足道，由它不多，无它不少。即无理数居然和实数一样,多。,b)“,似非而是”,例,2.,有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果,以前有人说有理数和自然数一样多的话，没人敢承认，而我们可,以通过严密的证明该结论是正确的。,2,）理论性强,严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数b),参考文献,周民强，实变函数,(,论,),，北京大学出版社，,1995.6(2001),周性伟，实变函数，科学出版社，,1998.9,胡适耕，实变函数，高等教育出版社，,1999.7,徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，,2002,郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987,夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，,1983.2,Halmos,，测度论,(Measure theory),Rudin,实分析与复分析,(Real and complex analysis).,北京九章图书,http:/.tw/,互动出版网,http:/www.china- 等编,高等教育出版社，,2010,年,6,月,.,参考文献周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6,第一章 集 合,第一章 集 合,第一章 集合简介,1.,集 合 概 念,2.,集合的运算,3.,对等与基数,4.,可数集合,5.,不可数集合,第一章 集合简介1.集 合 概 念2.集合的运算,集合的概念是十九世纪七十年代,康托尔,（,Cantor 1845-1918,）首先引入的，创立了,“集合论”。而后,集合,的观点与方法迅速渗透,到数学的各个分支。,实变函数,理论也是在此基础上产生的。,实变函数理论的中心是,建立一种新的积,分理论,，,即,勒贝格,Lebesgue,积分,。,集合的概念是十九世纪七十年代康托尔（Cantor 184,数学分析 讨论定义,在区间上,的,连续函数,。,复变函数,讨论定义,在域上,的,解析函数,。,实变函数 讨论定义,在集合上,的,可测函数,。,数学分析 讨论定义在区间上的连,早在中学里就已经接触过集合的概念，,以及集合的并、交、补、的运算，因此本章,前两节属于复习性质。不过，无限集合的,交与并，是以前没有接受过的。它在本课,中常常要遇到。,早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、,1,集合概念,一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽象）的全体称为,集合,。记为,A,B,等等。集合的成员称为它的,元素,，记为,a,b,c,等等。,二、表示法：,1.,列举 法：,A,=,a,，,b,，,c,，,例,1,A,=,4,，,7,，,8,，,3,.,2.,描述法：,A,=,x,|,x,满足性质,p,1 集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽,例,2,A,=,x,|,x,为自然数,=,IN,；,例,3,A,=,x,|,x,为,0,与,1,之间的实数,=0,，,1;,例,4,A,=,x,|,x,为平面上的向量,=,IR,2,;,例,5,A,=,f,|,f,为,0,1,上的实函数,=,f,:0,，,1,IR,;,三、简单概念,1.,事物,x,与集合,A,的关系：,x,在,A,中或不在,A,中，两者居且必居其一。,x,在,A,中记为,x,A,，,x,不在,A,中记为,x,A,.,2.,集合,A,、,B,间的关系：,A,的每一个元素都是,B,的元素，则称,A,是,B,的子集，记为,A,B,例2 A=x|x 为自然数=IN；,为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之,为空集，记为,.,为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之,关系名称,表示方法,关系名称,表示方法,属 于,子集,不属于,真子集,相 等,我们来看集合中的几个常用的关系式：,关系名称表示方法关系名称表示方法属 于子集不属于真子集相,在这几个概念中，我们必须注意：,1.,表示集合与它元素之间的关系。,2 .,表示集合与集合之间的关系。,在这几个概念中，我们必须注意：1.表示集合与它元素,关于“集合”，我们要注意两方面：,第一：集合中的元素互异。,第二：集合中的元素确定。,例如：全体大个子。不构成集合,关于“集合”，我们要注意两方面：第一：集合中的元,四、包含关系具有如下性质,定理,1,对任意的集合,A,、,B,、,C,均有,注意：通常证明两个集合相等，总是,利用（,2,）。,四、包含关系具有如下性质定理1 对任意的集合A、B、C均有注,例,A=x|x,是小于等于,5,的正整数,B=1,，,2,，,3,，,4,，,5,A=B,例 A=x|x是小于等于5的正整数B=1，2，3，,例,7,：,例,8,：,例,9,：,例,10,：,例7：