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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件包求解插值问题。,1、了解插值的基本内容。,1一维插值,2二维插值,3实验作业,1实验目的实验内容2、掌握用数学软件包求解插值问题。1、了解,2,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一 维 插 值,一、,插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab,解插值问题,返回,2拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值一 维 插,3,返回,二维插值,一、,二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,3返回二维插值一、二维插值定义二、网格节点插值法三、用Mat,4,一维插值的定义,已知 n+1个节点,其中,互不相同，不妨设,求任一插值点,处的插值,节点可视为由,产生,表达式复杂,或无封闭形式,或未知.。,4一维插值的定义已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一,5,构造一个(相对简单的)函数,通过全部节点,即,再用,计算插值，即,返回,5 构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值,6,称为,拉格朗日插值基函数,。,已知函数,f,(,x,)在,n,+1个点,x,0,x,1,x,n,处的函数值为,y,0,y,1,y,n,。求一,n,次多项式函数,P,n,(,x,)，使其满足：,P,n,(,x,i,)=,y,i,i,=0,1,n,.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中,L,i,(,x,)为,n,次多项式：,拉格朗日,(Lagrange)插值,6 称为拉格朗日插值基函数。已知函数f(x)在,7,拉格朗日,(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,7拉格朗日(Lagrange)插值特别地:两点一次(线性)插,8,拉格朗日多项式插值的,这种振荡现象叫,Runge,现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数,n,+1，其中,n,为插值多项式的次数，当,n,分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,返回,To Matlab,lch(larg1),8 拉格朗日多项式插值的 采用拉格朗日多,9,分段线性插值,计算量与n无关;,n越大，误差越小,.,x,j,x,j-1,x,j+1,x,0,x,n,x,o,y,9分段线性插值计算量与n无关;xjxj-1xj+,10,To MATLAB,xch11，xch12，xch13，xch14,返回,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-6,6中平均选取5个点作插值(xch11),4.在-6,6中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-6,6中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-6,6中平均选取21个点作插值(xch13),10To MATLAB返回例用分段线性插值法求插值,并观察插,11,比分段线性插值更光滑。,x,y,x,i-1,x,i,a,b,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的,k,阶导数存在且连续，则称,该曲线具有,k,阶光滑性,。,光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,11比分段线性插值更光滑。xyxi-1,12,三次样条插值,g,(,x,)为被插值函数,。,12 三次样条插值g(x)为被插值函数。,13,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych),返回,To MATLAB,ych(larg1),13例用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)返回To,14,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),插值方法,被插值点,插值节点,xi处的插值结果,nearest,：最邻近插值,linear,：,线性插值；,spline,：三次样条插值；,cubic,：立方插值。,缺省时：分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且,xi,不能够超过,x,的范围。,14用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp,15,例：在1-12的12小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,hours=1:12;,temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;,h=1:0.1:12;,t=interp1(hours,temps,h,spline);,plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图,xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)%摄氏度,15 例：在1-12的12小时内，每隔1小时测量一次温,16,二维插值的定义,x,y,O,第一种（网格节点）：,16二维插值的定义xyO第一种,17,已知 m,n个节点,其中,互不相同，不妨设,构造一个二元函数,通过全部已知节点,即,再用,计算插值，即,17 已知 mn个节点 其中互不相同，不妨设 构造一个,18,第二种（散乱节点）：,y,x,0,18第二种（散乱节点）：yx0,19,已知n个节点,其中,互不相同，,构造一个二元函数,通过全部已知节点,即,再用,计算插值，即,返回,19已知n个节点其中互不相同，构造一个二元函数通过全部已知,20,注意：,最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,x,y,(,x,1,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,2,y,2,),O,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的,节点的函数值即为所求。,返回,20 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最,21,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,x,y,(,x,i,y,j,),(,x,i,y,j,+1,),(,x,i,+1,y,j,),(,x,i,+1,y,j,+1,),O,f,(,x,i,y,j,)=,f,1,，,f,(,x,i,+1,y,j,)=,f,2,，,f,(,x,i,+1,y,j,+1,)=,f,3,，,f,(,x,i,y,j,+1,)=,f,4,21 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依,22,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(,x,y,)满足,插值函数为：,注意,：(,x,y,)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)：(,x,y,)满足,返回,22插值函数为：第二片(上三角形区域)：(x,y)满足插值,23,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。,双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,x,y,(,x,1,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,2,y,2,),O,返回,23 双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。,24,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),被插值点,插值方法,用,MATLAB,作网格节点数据的插值,插值节点,被插值点的函数值,nearest,最邻近插值,linear,双线性插值,cubic,双三次插值,缺省时,双线性插值,24 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向,25,例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令：,x=1:5;,y=1:3;,temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;,mesh(x,y,temps),1.,先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,2,以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,25例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：,26,再输入以下命令:,xi=1:0.2:5;,yi=1:0.2:3;,zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);,mesh(xi,yi,zi),画出插值后的温度分布曲面图.,26再输入以下命令:,27,插值函数,griddata格式为:,cz,=griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,被插值点,插值方法,插值节点,被插值点的函数值,nearest,最邻近插值,linear,双线性插值,cubic,双三次插值,v4-Matlab提供的插值方法,缺省时,双线性插值,27 插值函数griddata格式为:cz=gridda,28,例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,28 例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表,29,To MATLAB hd1,4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,3.作海底曲面图,29To MATLAB hd14.作出水深小于5的海域范围,30,clear,x=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;,y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5-6.5-81 3 56.5-66.5 84-33.5;,z=-4-8-6-8-6-8-8-9-9-8-8-9-4-9;,cx=75:0.5:200;,cy=-50:0.5:150;,cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);,meshz(cx,cy,cz),rotate3d,xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z),%pause,figure(2),contour(cx,cy,cz,-5-5);%等高线内部的深度小于5米,grid,hold on,plot(x,y,+),xlabel(X),ylabel(Y),30,31,x,y,机翼下轮廓线,1、已知飞机下轮廓线上数据如下，求,x,每改变,0.1,时的,y,值。,作业,31xy机翼下轮廓线 1、已知飞机下轮廓线,32,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,32 通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插,33,3,丙烷的导热系数是化工生产中值得注意的量，而且常常需要在不同温度及压力下的导热系数，然而我们不可能也没有必要过细地实验测量，经过实验，给出数据如表,1,所示，,表中的分别表示温度、压力、导热系数，并假设在这个范围内导热系数近似的随压力线性变化，求压力为10.13KN/m,2,且温度为,99,下的导热系数。,333丙烷的导热系数是化工生产中值得注意的量，而且常常需要在,
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