资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,二绝对值不等式,1.,绝对值三角不等式,二绝对值不等式,【,自主预习,】,1.,绝对值的几何意义,原点,距离,长度,a,【自主预习】原点距离长度a,2.,绝对值三角不等式,(1),定理,1:,如果,a,bR,则,|,a+b|_,当且仅,当,_,时,等号成立,.,(2),定理,1,的推广,:,如果,a,b,是实数,则,|a|-|b|,|ab|a|+|b|.,|a|+|b|,ab0,2.绝对值三角不等式|a|+|b|ab0,(3),定理,2:,如果,a,b,cR,那么,|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当,_,时,等号成立,.,(a-b)(b-c)0,(3)定理2:如果a,b,cR,那么|a-c|a-b|,【,即时小测,】,1.,已知,a,bR,则使不等式,|a+b|0B.a+b0D.ab0,【,解析,】,选,D.,根据绝对值的意义,可知只有当,ab0,时,不等式,|a+b|a|+|b|,成立,.,【即时小测】,2.,对任意,x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|,的最小值,为,(,),A.1B.2C.3D.4,【,解析,】,选,C.,对,任意,x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|,=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当,x0,1,y-1,1,时,等号成立,.,2.对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+,3.,不等式,|x+1|+|x-1|a,恒成立,则实数,a,的取值范围为,_.,【,解析,】,因为,|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当,-1x1,时等号成立,所以,使不等式,|x+1|+|x-1|a,恒成立的实数,a,的取值范围为,a2.,答案,:,a2,3.不等式|x+1|+|x-1|a恒成立,则实数a的取值范,【,知识探究,】,探究点,绝对值三角不等式,1.,用向量,a,b,分别替换,a,b,当,a,与,b,不共线时,有,|a+b|a|+|b|,其几何意义是什么,?,提示,:,其几何意义是,:,三角形的两边之和大于第三边,.,【知识探究】,2.,不等式,|a|-|b|a+b|a|+|b|,中“,=”,成立的条件分别是什么,?,提示,:,右侧,“,=”,成立的条件是,ab,0,左侧,“,=”,成立的条件是,ab,0,且,|a|,|b|.,2.不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中“=”,【,归纳总结,】,1.,对定理,1,的两点说明,(1),由于定理,1,与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式,.,(2),定理,1,可推广到,n,个实数情况即,:,|a,1,+a,2,+,+a,n,|a,1,|+|a,2,|+,+|a,n,|.,【归纳总结】,2.,定理,2,的几何解释,在数轴上,a,b,c,所对应的点分别为,A,B,C,当点,B,在点,A,C,之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.,当点,B,不在点,A,C,之间时,(1),点,B,在,A,或,C,上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.,(2),点,B,不在,A,C,上时,|a-c|a-b|+|b-c|.,2.定理2的几何解释,类型一,利用绝对值三角不等式证明不等式,【,典例,】,设函数,f(x)=x,2,-2x,实数,|x-a|1.,求证,:|f(x)-f(a)|2|a|+3.,【,解题探究,】,典例中对于,|f(x)-f(a)|,如何构造,使其满足绝对值不等式的形式,?,提示,:,|f(x)-f(a)|=|x,2,-2x-a,2,+2a|=|x-a|x+a-2|.,类型一利用绝对值三角不等式证明不等式,【,证明,】,因为函数,f(x)=x,2,-2x,实数,|x-a|1,所以,|f(x)-f(a)|=|x,2,-2x-a,2,+2a|=|x-a|x+a-2|,|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-2|1+|2a|+2=2|a|+3,所以,|f(x)-f(a)|2|a|+3.,【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|m,时,求证,:m|b|,且,|x|m1,所以,|x,2,|b|.,又因为,|x|m|a|,所以,故原不等式成立,.,【证明】因为|x|m|b|且|x|m1,2.,若,f(x)=x,2,-x+c(c,为常数,),|x-a|1,求证,:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).,【,解题指南,】,将,|f(x)-f(a)|,分解成含,|x-a|,的形式,再利用,|x-a|1,证明,.,2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|1,求,【,证明,】,|f(x)-f(a)|=|x,2,-x+c-(a,2,-a+c)|,=|x,2,-x-a,2,+a|=|(x-a)(x+a-1)|,=|x-a|,|x+a-1|x+a-1|,=|(x-a)+(2a-1)|x-a|+|2a-1|,|x-a|+|2a|+1a,的解集不是,R,求,a,的取值范围,.,【,解析,】,只要,a,不小于,|x-3|+|x+1|,的最小值,则,|x-3|+|x+1|a,的解集不是,R,而,|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|3-x+x+1|=4,2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|a的解集不是R,当且仅当,(3-x)(x+1)0,即,-1x3,时取最小值,4,所以,a,的取值范围是,4,+).,当且仅当(3-x)(x+1)0,即-1x3时取最小值4,【,方法技巧,】,求,f(x)=|x+a|+|x+b|,和,f(x)=|x+a|-|x+b|,的最值的三种方法,(1),转化法,:,转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解,.,【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|,(2),利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值,.,(3),利用绝对值的几何意义,.,(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“,【,变式训练,】,已知,xR,求函数,f(x)=|x+1|-|x-2|,的最大值,.,【,解析,】,根据绝对值的三角不等式,有,|x+1|-|x-2|,|(x+1)-(x-2)|=3.,当且仅当,x,2,时等号成立,.,故函数,f(x)=|x+1|-|x-2|,3,所以最大值为,3.,【变式训练】已知xR,求函数f(x)=|x+1|-|x-2,类型三,绝对值三角不等式的综合应用,【,典例,】,(2014,全国卷,),设函数,f(x)=+|x-a|,(a0).,(1),证明,:f(x)2.,(2),若,f(3)0,有,f(x)=,所以,f(x)2.,(2)f(3)=+|3-a|.,当,a3,时,f(3)=a+,由,f(3)5,得,3a0,有f(x)=,当,0a3,时,f(3)=6-a+,由,f(3)5,得,a3.,综上,a,的取值范围是,当0a3时,f(3)=6-a+,【,方法技巧,】,绝对值不等式综合应用的解题策略,含绝对值的综合问题,综合性强,所用到的知识多,在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件,.,【方法技巧】绝对值不等式综合应用的解题策略,【,变式训练,】,1.,设,f(x)=ax,2,+bx+c,当,|x|1,时,恒有,|f(x)|1,求证,:|f(2)|7.,【,证明,】,因为,|x|1,时,有,|f(x)|1,所以,|f(0)|=|c|1,|f(1)|1,|f(-1)|1,又,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|1时,所以,|f(2)|=|4a+2b+c|,=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|,=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|,3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|,3+1+3=7.,所以,|f(2)|7.,所以|f(2)|=|4a+2b+c|,2.,已知函数,f(x)=lg,(1),判断,f(x),在,-1,1,上的单调性,并给出证明,.,(2),若,tR,求证,:,2.已知函数f(x)=lg,【,解析,】,(1)f(x),在,-1,1,上是减函数,.,证明,:,令,取,-1x,1,x,2,1,则,u,1,-u,2,=,【解析】(1)f(x)在-1,1上是减函数.,因为,|x,1,|1,|x,2,|1,x,1,0,即,u,1,u,2,.,又在,-1,1,上,u0,故,lgu,1,lgu,2,得,f(x,1,)f(x,2,),所以,f(x),在,-1,1,上是减函数,.,因为|x1|1,|x2|1,x1x2,(2),因为,所以,(2)因为,由,(1),的结论,有,由(1)的结论,有,自我纠错,绝对值不等式在证明中的应用,【,典例,】,求证,:,自我纠错绝对值不等式在证明中的应用,【,失误案例,】,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案,.,提示,:,错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保证,1+|a+b|,1+|a|,1+|a+b|,1+|b|,成立,.,正确解答过程如下,:,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.,【,解析,】,当,|a+b|=0,时,显然成立,.,当,|a+b|0,时,所以不等式成立,.,【解析】当|a+b|=0时,显然成立.,人教版高中数学选修4-5ppt课件：1,
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