高等代数北大版65

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,6.5,线性子空间,*,2,线性空间的定义,与简单性质,3,维数,基与坐标,4,基变换与坐标变换,1,集合,映射,5,线性子空间,7,子空间的直和,8,线性空间的同构,6,子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,一、,线性子空间,二、生成子空间,6.5,线性子空间,6.5 线性子空间,一、线性子空间,1、线性子空间的定义,设,V,是数域,P,上的线性空间，集合,假设W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,那么称W为V的一个线性子空间，简称为子空间,注：,线性子空间也是数域,P,上一线性空间，它也,任一线性子空间的维数不能超过整个空间的,有基与维数的概念,.,维数,.,6.5 线性子空间,2、线性子空间的判定,，若,W,对于,V,中两种运算封闭，即,那么W是V的一个子空间,定理,：设,V,为数域,P,上的线性空间，集合,推论,：,V,为数域,P,上的线性空间,则,W,是,V,的子空间,6.5 线性子空间,，,.,且对 ，,由数乘运算,封闭，有,，即,W,中元素的负元素就是,它在V中的负元素，4成立,就是V中的零元，3成立,由于,，规则,1,）、,2,）、,5,）、,6,）、,7,）、,8,）,是显然成立的下证3、4成立,由加法封闭，有,即,W,中的零元,证明：要证明W也为数域P上的线性空间，,即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规那么,6.5 线性子空间,例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,那么Rx为V的一个子空间,例3,P,x,n,是,P,x,的的线性子空间,例,1,设,V,为数域,P,上的线性空间，只含零向量的,子集合是,V,的一个线性子空间，称之为,V,的,零子空间,线性空间,V,本身也是,V,的一个子空间,.,这两个子空间有时称为,平凡子空间,，而其它的,子空间称为,非平凡子空间,6.5 线性子空间,的全部解向量所成集合,W,对于通常的向量加法和数,(,),的,解空间,W,的维数,n,秩,(A),，；,例,4,n,元齐次线性方程组,(,),注,()的一个根底解系就是解空间W的一组基.,空间，称,W,为方程组,(,),的,解空间,量乘法构成的线性空间是,n,维向量空间,P,n,的一个子,6.5 线性子空间,例5判断Pn的以下子集合哪些是子空间：,解：,W,1,、,W,3,是,P,n,的子空间，,W,2,不是,P,n,的子空间,.,假设为Pn的子空间，求出其维数与一组基.,事实上，,W,1,是,n,元齐次线性方程组,的解空间.所以，维W1 n1，的一个根底解系,6.5 线性子空间,就是,W,1,的一组基,.,而在,W,2,中任取两个向量，设,那么,故,W,2,不是,P,n,的子空间,.,6.5 线性子空间,故，,W,3,为,V,的一个子空间，且维,W,3,n,1,，,那么有,其次，,设,下证,W,3,是,P,n,的子空间,.,就是,W,3,的一组基,.,6.5 线性子空间,例,6,设,V,为数域,P,上的线性空间，,那么W关于V的运算作成V的一个子空间,即的一切线性组合所成集合,.,6.5 线性子空间,称为,V,的由,生成的子空间,，,二、一类重要的子空间 生成子空间,定义,：,V,为数域,P,上的线性空间，,那么子空间,，,记作 ,称 为 的一组,生成元,.,6.5 线性子空间,例,7,在,P,n,中,，,为,P,n,的,一组基，,即,P,n,由它的一组基生成,.,类似地，还有,事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成,.,6.5 线性子空间,有关结论,1、,设,W,为,n,维线性空间,V,的任一子空间，,是,W,的一组基，则有,2、定理3,1,）；为线性空间,V,中的两组向量，则,与 等价,2,）生成子空间 的维数,向量组 的秩,6.5 线性子空间,证：,1,）若,则对,有 ，,从而 可被,线性表出；,同理每一个,也可被 线性表出,.,所以，,与 等价,，,可被 线性表出，,从而可被 线性表出，即,反之，,与 等价,6.5 线性子空间,所以,同理可得，,故，,由3定理1，,2,）设向量组,的秩,t,，不妨设,为它的一个极大无关组,因为,与 等价，,就是 的一组基，,所以，的维数,t,6.5 线性子空间,无关组，那么,推论：,设是线性空间,V,中不全为零,的一组向量，是它的一个极大,3,、,设 为,P,上,n,维线性空间,V,的一组基，,则 的维数秩,(A).,A,为,P,上一个 矩阵，若,6.5 线性子空间,证：设秩,(A),r,，不失一般性，设,A,的前,r,列线,性无关，并将这,r,列构成的矩阵记为,A,1,，其余,s-r,列,构成的矩阵记为A2，那么A(A1,A2)，且,秩,(A,1,),秩,(A),r,，,设即,下证线性无关,.,6.5 线性子空间,是,V,的一组基，,又秩,(A,1,),r,，,方程组,只有零解，即,线性无关,.,从而,6.5 线性子空间,任取,将A的第 j 列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，那么,则有,即,设,6.5 线性子空间,从而有,而秩,(B,j,),r,，,有非零解，故有不全为零的数,故为的极大无关组，,所以 的维数,r,秩,(A).,线性相关,.,6.5 线性子空间,则向量组 与矩阵,A,的列向量组具有相同,线性相关性,.,所以可对矩阵,A,作初等行变换化阶梯,阵来求向量组 的一个极大无关组，从而,求出生成子空间的维数与一组基,.,注：,由证明过程可知，若 为,V,的一组基，,6.5 线性子空间,为,V,的一组基即在,V,中必定可找到,n,m,个向量,设,W,为,n,维线性空间,V,的一个,m,维子空间，,4、定理4,为,W,的一组基，则这组向量必定可扩充,，使 为,V,的一组基,扩基定理,证明,：对,n,m,作数学归纳法,当,n,m,0,时，即,n,m,，,定理成立,就是,V,的一组基,.,假设当,n,m,k,时结论成立,.,6.5 线性子空间,因,n,(,m,1,)(,n,m,),1,(,k,1,),1,k,，,下面我们考虑,n,m,k,1,的情形,必定是线性无关的,既然 还不是,V,的一组基，它又是线性无关的，那么在,V,中必定有一个向量不能被,线性表出，把它添加进去，则,由定理,3,，子空间,是,m,1,维的,可以扩充为整个空间,V,的一组基由归纳原理得证,.,由归纳假设，的基,6.5 线性子空间,它扩充为,P,4,的一组基，其中,例,8,求 的维数与一组基，并把,解：对以为列向量的矩阵,A,作,初等行变换,6.5 线性子空间,由,B,知，为 的一个极大,故，维,3,，,就是 的一组基,.,无关组,.,6.5 线性子空间,则 线性无关，从而为,P,4,的一组基,.,6.5 线性子空间,练习,设,V,为数域,P,上的线性空间，为,V,的一组基，且,求 的一组基，并把它扩充为,V,的一组基,.,6.5 线性子空间,令对,A,作初等行变换,解：,6.5 线性子空间,则线性无关，从而为,V,的一组基,.,又,由,B,知，,A,的列向量线性无关，从而,线性无关,.,故 为的一组基,.,6.5 线性子空间,