数列的极限-课件

,山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂,第二节 数列的极限,一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,第二节 数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,概念的,引入,正六边形的面积,A,1,正 形的面积,正十二边形的面积,A,2,计算圆的面积,一、数列极限的定义概念的引入正六边形的面积A1正,1.数列的概念,按照某一法则,对每一,n,N,对应着一个确定的实数,x,n,则得到一个序列,x,1,x,2,x,3,x,n,这一序列叫做,数列,记为,x,n,第,n,项,x,n,叫做数列的一般项.,2,4,8,2,n,;,1,-,1,1,(,-,1),n,+,1,.,注意：,(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,1.数列的概念 按照某一法则,对每一nN,问题,:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,.,通过观察:,当,n,无限增大时,无限接近于1.,引例,观察数列,时的变化趋势.,问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察,2.数列,极限的通俗定义,当,n,无限增大时,如果数列,x,n,的一般项,x,n,无限接近,于常数,a,则常数,a,称为数列,x,n,的极限,或称数列,x,n,收,敛,a,记为,a,x,n,n,=,lim,.,当,n,无限增大时,x,n,无限接近于,a,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|无限接近于0,.,当,n,无限增大时,|,x,n,-,a,|可以任意小,要多小就能有多小.,当,n,增大到一定程度以后,|,x,n,-,a,|能小于事先给定的任意,小的正数,.,因此,若,n,增大到一定程度以后,|,x,n,-,a,|能小于事先给,定的任意小的正数,则当,n,无限增大时,x,n,无限接近常数,a,.,2.数列极限的通俗定义 当n无限增大时,如,3.数列,极限的精确定义,设,x,n,为一数列,如果存在常数,a,对于任意给定的正,数,e,总存在正整数,N,使得当,n,N,时,不等式,|,x,n,a,|,N,时,所有的点,x,n,都落在开区间(,a,-,e,a,+,e,),只有,有限个(至多只有,N,个)落在这区间以外.,注：(1).e 的任意性，它是描述xn 与a,证明,例1,证明,对于,任意,e,0,要使,|,x,n,-,1|,e,只要,e,n,分析,则当,n,N,时,就有,即,证明例1 证明对于任意e 0,要使|xn-1|,N,时,就有,所以,例2 证明分析证明(设 ),要使或只要,例3,设|,q,|,N,时,就有,所以,例3 设|q|1,证明等比数列分析要,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,证明,:,假设同时有,a,x,n,n,=,lim,及,b,x,n,n,=,lim,且,a,0,存在充分大的,正整数,N,使当,n,N,时,同时有,|,x,n,-,a,|,2,a,b,-,=,e,及,|,x,n,-,b,|,2,a,b,-,=,e,因此同时有,2,a,b,x,n,+,这是不可能的.所以只能有,a,=,b,.,二、收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性)证明,例4.,证明数列,是发散的.,证明:,用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限,a,存在.,取,则存在,N,但因,交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当,n,N,时,有,因此该数列发散.,例4.证明数列是发散的.证明:用反证法.假设数列收敛,定理2,(收敛数列的,有界性,)收敛数列,x,n,一定有界.,证:,设,取,则,当,时,有,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,注,此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛,.,数列,定理2(收敛数列的有界性)收敛数列xn一定有界.证:,定理3(收敛数列的保号性),若,时,有,证:,对,a,0,取,推论:,若数列从某项起,定理3(收敛数列的保号性)若时,有证:对 a 0,子数列的收敛性,注：,例如，,所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保,持这些项在原数列,x,n,中的先后次序，这样得到的一,个数列称为原数列,x,n,的子数列（或子列）.,在子数列 中，一般项 是第,k,项，而 在,原数列 中却是第 项，显然，,子数列的收敛性注：例如，所谓子数列是指：数列,定理4(收敛数列与子数列间的关系）,如果数列,x,n,收敛于,a,，那末它任一子数列也收敛,且极限也是,a,.,证:,设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数,K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列xn收,注:,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数,列一定发散.,故数列 发散.,证,：因为当 时,证明,数列 是发散的.,注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数故数列,内容小结,1.数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,思考与练习,如何判断极限不存在?,方法1.,找一个趋于的子数列;,方法2.,找两个收敛于不同极限的子数列.,内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.,作业：p-30 习题1-2,3(2)(3),4,5,作业：p-30 习题1-2,