高等代数知识点总结课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,总结,高等代数,多项式,线性代数,矩阵,向量,方程组,计算,总结高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算,多项式,一元多项式,多元多项式,2,多项式一元多项式多元多项式2,基本概念,：,次数：,最基本的概念和工具,整除：,多项式之间最基本的关系,带余除法：,最基本的算法，判断整除,.,最大公因式：,描述多项式之间关系的复杂程度,互素：,多项式之间关系最简单的情形,既约多项式：,最基本的多项式,根：,最重要的概念和工具,一元多项式,3,基本概念：一元多项式3,重要结论,：,带余除法定理,对于任意多项式,f,(,x,),和非零多项式,g,(,x,),，有唯一的,q,(,x,),和,r,(,x,),使得,f,(,x,)=,g,(,x,),q,(,x,)+,r,(,x,),，,r,(,x,)=0,或,deg,r,(,x,)deg,g,(,x,).,最大公因式的存在和表示定理,任意两个不全为,0,的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式,d(x),都有,u(x),和,v(x),使得,d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),互素,f(x),和,g(x),互素,有,u(x),和,v(x),使得,f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.,4,重要结论：4,因式分解唯一定理,次数大于,1,的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一,.,标准分解定理,每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是非零常数,p,1,p,t,是互不相同的首一既约多项式,n,1,n,t,是正整数,.,进一步,a,p,1,p,t,n,1,n,t,由,f,唯一确定,.,重因式,f,无重因式当且仅当,f,与其导式互素,.,5,因式分解唯一定理 标准分解定理 重因式 5,代数学基本定理：,下列陈述等价，,复数域上次数,1,的多项式总有根,复数域上的,n,次多项式恰有,n,个根,复数域上的既约多项式恰为一次式,复数域上次数,1,的多项式可分解成一次式之积,.,实数域上的次数,1,的既约多项式只有无实根的二次式,实数域上次数,1,的多项式可分解成一次式和二次式之积,6,代数学基本定理：6,实数域上的标准分解定理,在实数域上，每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是,f,的常数项,x,1,x,t,是,f,全不互不相同的根,p,1,p,t,是互异、首一、无实根的二次式,.,复数域上的标准分解定理,在复数域上，每个次数大于,1,的多项式,f,都有如下的标准分解,其中,a,是,f,的常数项,x,1,x,t,是,f,全部互不相同的根,n,1,n,t,分别是这些根的重数,.,7,实数域上的标准分解定理 复数域上的标准分解定理 7,多项式作为函数,：,两个多项式相等,(,即对应系数相同,),它们作为函数相等,(,即在每点的函数值相等,),它们在,k+1,个点的函数值相等，这里,k,是它们次数的最大者,.,设,f(x),a,n,x,n,+.+a,1,x+a,0,，,若,f(x),在,n+1,个点的函数值为,0,，则,f(x),恒等于,0.,8,多项式作为函数：8,Eisenstein,判别法,：,设 是整系数多项式，若有素数,p,使得,则,f(x),是有理数域上的既约多项式,.,有理根：,有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项,9,Eisenstein判别法：9,重要结论,命题,1.8.1,若多项式的值全为,0,，则该多项式必为,0.,命题,1.8.2,每个,n,次多项式,f,均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，,f,n,0,，且其中,f,i,是,0,或,i,次齐次多项式，,0,i,n,，,f,i,称为,f,的,i,次齐次分量,.,基本概念,：,次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式,多元多项式,对称多项式基本定理,每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式,.,10,重要结论 基本概念：多元多项式对称多项式基本定理 每个对,矩阵,运算,行列式,初等变换,和标准形,特殊矩阵,11,矩阵运算行列式初等变换特殊矩阵11,运算及其关系,转置,取逆,伴随,行列式,秩数,加,法,(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,r,(,A,+,B,),r,(,A,)+,r,(,B,),数,乘,(,kA,),T,=,k A,T,(,kA,),1,=,k,1,A,1,(,kA,),*,=,k,n,1,A,*,|,kA,|=,k,n,|,A,|,r,(,kA,)=,r,(,A,)(,k,0),乘,法,(,AB,),T,=,B,T,A,T,(,AB,),1,=,B,1,A,1,(,AB,),*,=,B,*,A,*,|,AB,|=|,A,|,B,|,r,(,A,)+,r,(,B,)-,n,r,(,AB,),r,(,A,),r,(,B,),转,置,(,A,T,),T,=,A,(,A,T,),1,=(,A,1,),T,(,A,T,),*,=(,A,*,),T,|,A,T,|=|,A,|,r,(,A,T,)=,r,(,A,),取,逆,(,A,1,),1,=,A,(,A,1,),*,(,A,*,),1,|,A,1,|=|,A,|,1,伴,随,(,A,*,),*,=|,A,|,n,2,A,*,|,A,*,|=|,A,|,n,1,n,若,r(A)=n r(A*)=1,若,r(A)=n-1,0,若,r(A)n-1,其,它,A,-1,=,|A,|,-1,A,*,AA,*,=,A,*,A,=|,A,|,E,当,A,可逆时，,A,*,|,A,|,A,1,定义,性质,若,P,Q,可逆，则,r(A)=r(PA)=r(AQ),=r(PAQ),12,运算及其关系转置取逆伴随行列式秩数加(A+B)T=AT+BT,转置,取逆,伴随,加法,(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,数乘,(,kA,),T,=,k A,T,(,kA,),1,=,k,1,A,1,(,kA,),*,=,k,n,1,A,*,乘法,(,AB,),T,=,B,T,A,T,(,AB,),1,=,B,1,A,1,(,AB,),*,=,B,*,A,*,转置,(,A,T,),T,=,A,(,A,T,),1,=(,A,1,),T,(,A,T,),*,=(,A,*,),T,取逆,(,A,1,),1,=,A,(,A,1,),*,(,A,*,),1,伴随,(,A,*,),*,=|,A,|,n,2,A,*,其它,A,-1,=,|A,|,-1,A,*,AA,*,=,A,*,A,=|,A,|,I,当,A,可逆时，,A,*,|,A,|,A,1,13,转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=k,行列式,秩数,加法,r,(,A,+,B,),r,(,A,)+,r,(,B,),数乘,|,kA,|=,k,n,|,A,|,r,(,kA,)=,r,(,A,)(,k,0),乘法,|,AB,|=|,A,|,B,|,r,(,A,)+,r,(,B,)-,n,r,(,AB,),r,(,A,),r,(,B,),转置,|,A,T,|=|,A,|,r,(,A,T,)=,r,(,A,),取逆,|,A,1,|=|,A,|,1,伴随,|,A,*,|=|,A,|,n,1,n,若,r(A)=n,r(A*)=1,若,r(A)=n,1,0,若,r(A)n,1,其它,定义,性质,若,P,Q,可逆，则,r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ),14,行列式秩数加法r(A+B)r(A)+r(B)数乘|kA|=,性质,公式,备注,转置不变性,|A,T,|=|A|,行列地位平等,反交换性,|.,.,.|=,|.,.,.|,换法变换,交错性,|.,.,.|=0,齐性,|.k,.|=k|.,.|,倍法变换,统称线性,加性,|.,+,.|=|.,.|+|.,.|,倍加不变性,|.,+k,.,.|=|.,.,.|,消法变换,按,第,k,行,第,k列展开,|a,ij,|=a,k1,A,k1,+a,kn,A,kn,=a,1k,A,1k,+a,nk,A,nk,a,j1,A,k1,+a,jn,A,kn,=,a,1j,A,1k,+a,nj,A,nk,=,jk,|a,ij,|,Laplace,定理,分块三角矩阵的行列式,Cauchy-Binet,公式,Vandermonde,行列式,定义,性质,；,15,性质公式备注转置不变性|AT|=|A|行列地位平等反交换,Laplace,定理,(,按第,i,1,.,i,k,行展开,),；,分块三角形行列式,16,Laplace定理(按第i1,.,ik行展开)；分块三,Cauchy-Binet,公式,设,U,是,mn,矩阵,V,是,nm,矩阵,m,n,则,17,Cauchy-Binet公式17,18,18,初等变换,行变换,列变换,换法变换,倍法变换,消法变换,对单位矩阵做一次初等变换,对,A,做一次,行,变换,=,用相应的初等矩阵,左,乘以,A,对,A,做一次,列,变换,=,用相应的初等矩阵,右,乘以,A,19,初等变换行变换列变换换法变换倍法变换消法变换对单位矩阵做一次,对于,mn,矩阵,A,，,B,下列条件等价,A,B,，即,A,可由初等变换化成,B,有可逆矩阵,P,Q,使得,PAQ=B,秩,A=,秩,B,A,，,B,的标准型相同,A,B,行等价,有可逆矩阵,P,使得,A=PB,每个矩阵都行等价于唯一一个,RREF,矩阵,A,B,等价,有可逆矩阵,P,Q,使得,A=PBQ,每个秩数为,r,的矩阵都等价于,矩阵等价,20,对于mn矩阵A，B下列条件等价 A,B行等价有可逆矩阵,可逆矩阵,vs,列满秩矩阵,对于,n,阶矩阵,A,下列条件等价,A,是可逆矩阵,|A|,0,秩,A=n,有,B,使得,AB=I,或,BA=I,A,是有限个初等矩阵之积,A(,行或列,),等价于,I,A,的列,(,行,),向量组线性无关,方程组,Ax=0,没有非零解,对任意,b,Ax=b,总有解,对某个,b,Ax=b,有唯一解,A,是可消去的,(,即由,AB=AC,或,BA=CA,恒可得,B=C),对于,mr,矩阵,G,下列条件等价,G,是列满秩矩阵,G,有一个,r,阶的非零子式,秩,G=,列数,G,有左逆,即有,K,使得,KG=I,有矩阵,H,使得,(G,H),可逆,G,行等价于,G,的列向量组线性无关,方程组,Gx=0,没有非零解,对任意,b,若,Gx=b,有解,则唯一,对某个,b,Gx=b,有唯一解,G,是左可消去的,(,即由,GB=GC,恒可得,B=C),21,可逆矩阵vs列满秩矩阵对于n阶矩阵A,下列条件等价21,设,A,的秩数为,r,则,A,有如下分解,其中,P,Q,为可逆矩阵,A=PE,其中,P,可逆,E,是秩数为,r,的,RREF,A=GH,其中,G,列满秩,H,行满秩,且秩数都是,r,(,满秩分解,),矩阵分解,22,设A的秩数为r,则A有如下分解矩阵分解22,分块矩阵的初等变换和,Schur,公式,把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵,Schur,公式 设,A,可逆,两种常用方法,适用例子,:,习题,3.7.5;3.7.911,:,23,分块矩阵的初等变换和Schur公式两种常用方法适用例子:习,2.,正则化方法,证明当,A,可逆时结论成立,考虑,xI+A,有无穷多个,x,使得该矩阵可逆,将要证明的结论归结为多项式的相等,若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取,x=0.,适用例子,:,习题,3.6.4;3.7.7;3.7.11,:,24,2.正则化方法适用例子:习题3.6.4;3.7.7;3,特殊矩阵,三角,正规,可逆,对合,Hermite,反,Hermite,酉矩阵,幂等,幂零,对称,反对称,正交,对角,纯量,25,特殊矩阵三角 正规,向量,线性关系,线性相关,线性无关,线性表示,等价,极大无关组,秩数,26,向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数