数学建模讲座课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模讲座,数学建模讲座,1,玩具、照片,实物模型,风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分进行,简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型,集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见,的模型,什么是数学模型,第一章 建立数学模型,玩具、照片 实物模型风洞中的飞机 物理模型地图、电路,2,你碰到过的数学模型“航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,求解得到,x,=20,y,=5,答：船速每小时20公里,你碰到过的数学模型“航行问题”用x表示船速，y表示水速，,3,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（,x,y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常,4,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模,（Mathematical Modeling),数学模型:,对于一个现实,对象,，为了一个特定,目的,，,根据其内在,规律,，作出必要的简化,假设,，运用适当,的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,数学建模：,建立数学模型的,全过程,（包括建立、求解、分析、检验）。,数学模型(Mathematical Model)和数学模,5,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,如虎添翼,知识经济,数 学 建 模 的 重 要 意 义 电子计算机的出现及飞速发,6,建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？,问题,椅子能在不平的地面上放稳吗？,1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四脚的连线呈正方形；,2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；,3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。,模型假设,A,B,C,D,t,A,B,C,D,O,x,模型构成,椅脚连线为正方形ABCD(如右图),。,t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和,g(t)A,C两脚与地面距离之和,f(t),g(t),0,建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？问题椅子能在不平的地,7,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意,t,，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：,已知,f(,t,)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t),g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t,0,，使f(t,0,)=g(t,0,)=0,模型求解,O,x,A,B,C,D,A,B,C,D,t,最后，因为f(t),g(t)=0，所以f(t,0,)=g(t,0,)=0。,令h,(t,)=,f(,t,)-g(t),则h(0)0和h(,)0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t,0,（0t,0,0可知g(,)0,f()=0,模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置,8,建模示例 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人,3名随从,河,小船(至多2人),随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.,商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求,在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,建模示例 商人们怎样安全过河问题(智力游戏),9,模型构成,x,k,第k次渡河前此岸的商人数,y,k,第k次渡河前此岸的随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k=1,2,s,k,=(x,k,y,k,)过程的状态,S=(x,y),x=0,y=0,1,2,3;,x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S,允许状态集合,u,k,第k次渡船上的商人数,v,k,第k次渡船上的随从数,d,k,=(u,k,v,k,)决策,D=(u,v),u+v=,1,2,允许决策集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k=1,2,s,k+1,=s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,求d,k,D(k=1,2,n),使,s,k,S按,转移律,由s,1,=(3,3)到达s,n+1,=(0,0).,多步决策问题,模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸,10,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,10个 点,允许决策D 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s,1,s,n+1,d,1,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,d,1,d,11,允许状态S,S=(x,y),x=0,y=0,1,2,3;,x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,D=(u,v),u+v=,1,2,模型求解xy3322110 穷举法 编程上机图解法状态,11,习题,模仿这一案例，作下面一题：,人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。,习题模仿这一案例，作下面一题：,12,背景,年,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿),5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995,人口(亿),3 4.7 6 7 10.1 11.3 12,研究人口变化规律,控制人口过快增长,建模示例 如何预报人口的增长,背景 年 1625 1830 19,13,指数增长模型,常用的计算公式,马尔萨斯,（1788-1834）,提出的指数增长模型(1798),x(t),时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x,0,年增长率 r,k,年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长,指数增长模型常用的计算公式马尔萨斯（1788-1834）提,14,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长率r不是常数(逐渐下降),指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统,15,阻滞增长模型(Logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r,固有增长率(x很小时),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是x的减函数,阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，,16,阻滞增长模型(Logistic,模型),dx/dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x(t)S,形曲线,x增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm,17,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，,必须先估计模型参数 r 或 r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980,3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5,r=0.2072,x,m,=464,专家估计,模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，利用,18,模 型 检 验,用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4(百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,r=0.2083,x,m,=457.6,x(2000)=275.0,x(2010)=297.9,Logistic,模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),模 型 检 验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实,19,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据,的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究,(Case Studies),来学习。以下建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，将研究对象,20,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,数 学 建 模 的 一 般 步 骤模型准备模型假设模型构成模,21,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,怎 样 学 习 数 学 建 模数学建模与其说是一门技术，不,22,看谁答得快,1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？,2、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？,3、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？,看谁答得快1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时,23,录象机计数器的用途,问,题,经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了,183分30秒，计数器读数从0000变到6152。,在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为,4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与,录象带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,第二章 初等模型,录象机计数器的用途问经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了在,24,问 题 分 析,录象机计数器的工作原理,0000,左轮盘,右轮盘,磁头,主动轮,压轮,计数器,录象带,录象带运动方向,录象带运动,右轮盘半径增大,右轮转速不是常数,录象带运动速度是常数,计数器读数增长变慢,观 察,计数器读数增长越来越慢！,问 题 分 析录象机计数器的工作原理0000左轮盘右轮盘磁头,25,模 型 假 设,录象带的运动速度是常数,v,；,计数器读数,n,与右轮转数,m,成正比，记,m=kn,；,录象带厚度（加两圈间空隙）为常数,w,；,空右轮盘半径记作,r,；,时间,t,=0,时读数,n,=0,.,建 模 目 的,建立,时间,t,与读数,n,之间的关系,（设,