定积分的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,河北工业职业技术学院 王力加,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,河北工业职业技术学院 王力加,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,河北工业职业技术学院 王力加,*,第五节 定积分的应用,definite integrals application,一、定积分的几何应用,二、定积分的物理应用,三、定积分的经济应用,11/14/2024,1,河北工业职业技术学院 王力加,第五节 定积分的应用一、定积分的几何应用二、定积分的物理,第五节 定积分的应用,definite integrals application,一、定积分的几何应用,1、问题的提出,2、用定积分求平面图形的面积,3、用定积分求体积,4、平面曲线的弧长,5、小结 思考题,11/14/2024,2,河北工业职业技术学院 王力加,第五节 定积分的应用7/27/20232河北工业职业技术学院,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,a,b,x,y,o,11/14/2024,3,河北工业职业技术学院 王力加,回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo7/27/2,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得,A,的近似值,11/14/2024,4,河北工业职业技术学院 王力加,面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值7/27,a,b,x,y,o,（4）求极限，得,A,的精确值,提示,面积元素,11/14/2024,5,河北工业职业技术学院 王力加,abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素7/27/,微元法的一般步骤：,1,）根据问题的具体情况，选取一个变量例如,x,为,积分变量，并确定它的变化区间,b,a,；,2,）设想把区间,b,a,分成,n,个小区间，取其中任,一小区间并记为,dx,x,x,+,，求出相应于这小区,间的部分量,F,D,的近似值,.,如果,F,D,能近似地表示,为,b,a,上的一个连续函数在,x,处的值,),(,x,f,与,dx,的乘积，就把,dx,x,f,),(,称为量,F,的元素且记作,dF,，即,dx,x,f,dF,),(,=,；,11/14/2024,6,河北工业职业技术学院 王力加,微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x,3,）以所求量,F,的元素,dx,x,f,),(,为被积表达式，在,区间,b,a,上作定积分，得,即为所求量,F,的积分表达式,.,这个方法通常叫做,微元法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,11/14/2024,7,河北工业职业技术学院 王力加,3）以所求量F的元素dxxf)(为被积表达式，在区间,b,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1、直角坐标系情形,dx,dx,二、用定积分求平面图形的面积,11/14/2024,8,河北工业职业技术学院 王力加,曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形dxdx二、用,X,Y,0,a,S,a,b,11/14/2024,9,河北工业职业技术学院 王力加,XY0aSab7/27/20239河北工业职业技术学院 王,X,Y,0,a,b,S,11/14/2024,10,河北工业职业技术学院 王力加,XY0abS7/27/202310河北工业职业技术学院 王,X,Y,0,a,b,S,11/14/2024,11,河北工业职业技术学院 王力加,XY0abS7/27/202311河北工业职业技术学院 王,y,x,y=f(x),y=g(x),a,b,对x积分,S(x),11/14/2024,12,河北工业职业技术学院 王力加,yxy=f(x)y=g(x)ab对x积分S(x)7/27/2,X,Y,0,a,b,S,11/14/2024,13,河北工业职业技术学院 王力加,XY0abS7/27/202313河北工业职业技术学院 王,b,a,y,x,S(x),11/14/2024,14,河北工业职业技术学院 王力加,bayxS(x)7/27/202314河北工业职业技术学院,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,问题：,积分变量只能选 吗？,11/14/2024,15,河北工业职业技术学院 王力加,解两曲线的交点面积元素选 为积分变量问题：积分变量只能,解,两曲线的交点,选 为积分变量,11/14/2024,16,河北工业职业技术学院 王力加,解两曲线的交点选 为积分变量7/27/202316河北,于是所求面积,说明：注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同？,11/14/2024,17,河北工业职业技术学院 王力加,于是所求面积说明：注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如选,x为积分变量，图形需分成两块。,11/14/2024,18,河北工业职业技术学院 王力加,解两曲线的交点选 为积分变量如选x为积分变量，图形需分,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,这里对函数的要求是：,11/14/2024,19,河北工业职业技术学院 王力加,如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积这里对函数的要求是,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,11/14/2024,20,河北工业职业技术学院 王力加,解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积7,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,三、用定积分求体积,11/14/2024,21,河北工业职业技术学院 王力加,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而,x,y,o,旋转体的体积为,11/14/2024,22,河北工业职业技术学院 王力加,xyo旋转体的体积为7/27/202322河北工业职业技术学,例,5,求星形线,3,2,3,2,3,2,a,y,x,=,+,),0,(,a,绕,x,轴旋转,构成旋转体的体积,.,解,11/14/2024,23,河北工业职业技术学院 王力加,例5 求星形线323232ayx=+)0(a绕x轴旋转构成,用MATLAB计算符号定积分,格式:int(f，v，a，b),命令是对表达式f中指定的符号变量v 从a到b的定积分。,syms x a,int(pi*(a(2/3)-x(2/3)3,-a,a),ans=,32/105*a3*pi,11/14/2024,24,河北工业职业技术学院 王力加,用MATLAB计算符号定积分格式:int(f，v，a，b)7,例,6,连接坐标原点,O,及点,),(,r,h,P,的直线、直线,h,x,=,及,x,轴围成一个直角三角形,将它绕,x,轴旋,转构成一个底半径为,r,、高为,h,的圆锥体，计算,圆锥体的体积,解,直线 方程为,11/14/2024,25,河北工业职业技术学院 王力加,例6 连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx=及x,11/14/2024,26,河北工业职业技术学院 王力加,7/27/202326河北工业职业技术学院 王力加,11/14/2024,27,河北工业职业技术学院 王力加,7/27/202327河北工业职业技术学院 王力加,弧微分,弧长,1,、直角坐标情形,四、平面曲线的弧长,11/14/2024,28,河北工业职业技术学院 王力加,弧微分弧长1、直角坐标情形四、平面曲线的弧长7/27/202,例,1,计算曲线,2,3,3,2,x,y,=,上相应于,x,从,a,到,b,的一段,弧的长度,.,解,所求弧长为,11/14/2024,29,河北工业职业技术学院 王力加,例1 计算曲线2332xy=上相应于x从a到b的一段弧的长度,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,弧微分,11/14/2024,30,河北工业职业技术学院 王力加,曲线弧为弧长2、参数方程情形弧微分7/27/202330河北,五、小结 思考题,1、元素法的提出、思想、步骤.,2、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,3、,旋转体的体积,11/14/2024,31,河北工业职业技术学院 王力加,五、小结 思考题 1、元素法的提出、思想、步骤.7,思考题,1,、,2、微元法的实质是什么？,11/14/2024,32,河北工业职业技术学院 王力加,思考题 1、2、微元法的实质是什么？7/2,思考题1解答,x,y,o,两边同时对 求导,11/14/2024,33,河北工业职业技术学院 王力加,思考题1解答xyo两边同时对 求导7/27/202333,积分得,所以所求曲线为,思考题2解答,微元法的实质仍是“和式”的极限,11/14/2024,34,河北工业职业技术学院 王力加,积分得所以所求曲线为思考题2解答微元法的实质仍是“和式”的极,求由曲线 与直线,围成平面图形的平面图形S。,练习1,X,Y,0,1,1,s,11/14/2024,35,河北工业职业技术学院 王力加,求由曲线 与直线,求由曲线 与直线,围成平面图形的平面图形S。,练习2,X,Y,0,1,1,2,s,11/14/2024,36,河北工业职业技术学院 王力加,求由曲线 与直线,求由曲线 与直线,围成平面图形的平面图形S。,练习3,X,Y,0,1,1,2,11/14/2024,37,河北工业职业技术学院 王力加,求由曲线 与直线,作业,P154,请 提 问,河北工业职业技术学院,11/14/2024,38,河北工业职业技术学院 王力加,作业P1547/27/202338河北工业职业技术学院 王,