刚体定轴转动定律解析ppt课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第5章 刚体的定轴转动,5.3 刚体定轴转动定律,5.3 刚体定轴转动定律,1,5.3 刚体定轴转动定律1,P,*,O,:力臂,刚体绕,O z,轴旋转，,力,作用在刚体上点,P,，且,在转动平面内,，为由点,O,到力的作用点,P,的径矢。,对转轴,Z,的力矩,补充的内容：,对转轴的力矩,2,P*O :力臂 刚体绕 O z 轴旋,O,1）,若力 不在转动平面内,，把力分解为,平行,和,垂直,于转轴方向的两个分量：,2）合力矩,等于各分力矩的,矢量和。,其中 对转轴的力,矩为零，故 对转轴的力矩：,讨论：,注意：,合力矩,与,合力的矩,是不同的概念，不要混淆。,3,O 1）若力 不在转动平面内，把力分解,3）,刚体内，,作用力和反作用力的力矩,互相,抵消。,O,在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。,力矩的计算：,计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。,4,3）刚体内，作用力和反作用力的力矩互相抵消。O在计算力对轴,例：,一匀质细杆，长为,l,质量为,m,，在摩擦系数为,的,水平桌面上转动，,求：,摩擦力的力矩,M,阻,。,解：,细杆的质量密度：,质元质量：,质元受阻力矩：,细杆受的阻力矩：,杆上各质元均受摩擦力作用，但,各质元受的摩擦阻力矩不,同，,靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,5,例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m，在摩擦系数为 的,R,例：,如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，,求：,圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。,O,解：,取一小环为面元，,r,dr,df,若圆盘以,0,的初角速度转动，圆盘转多少圈静止？,问题：,6,R例：如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，,一、刚体定轴转动的角动量,O,刚体上任一质元在垂直于,z,轴的平面内作圆周运动。,刚体对固定轴的角动量为：,对,z,轴的角动量沿,z,轴正向，大小为：,刚体对,z,轴的,转动惯量。,（所有质元的动量矩之和）,7,一、刚体定轴转动的角动量O刚体上任一质元在垂直于 z 轴,刚体对,z,轴的角动量为：,即：刚体绕定轴转动时，,对转轴的角动量,，等于,刚体对转轴的转动惯量,与,角速度,的乘积。,强调：,对于刚体的定轴转动，我们用,角动量,来描述，而不用,动量,来描述。,刚体对,z,轴的,转动惯量,O,8,刚体对 z 轴的角动量为：即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动,对确定的刚体、给定的转轴，,转动惯量,是一常数。,刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到转轴的垂直距离的平方的乘积之和。,物理意义：,是刚体转动惯性的量度。,刚体的转动惯量的大小：,1）,与刚体的,总质量、形状、大小,有关。,2）,与,质量对轴的分布,有关。,3）,与,轴的位置,有关。,二、刚体定轴转动的转动惯量,（,Moment of Inertia）,（质量不连续分布）,（质量连续分布）,定义式：,9,对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。刚体对固定轴,质量离散分布,刚体的转动惯量：,转动惯性的计算方法,质量连续分布,刚体的转动惯量：,：,质量元,线分布,体分布,面分布,:,质量线密度,:,质量面密度,:,质量体密度,10,质量离散分布刚体的转动惯量：转动惯性的计算方法 质量,m,1,2,m,转轴,O,r,1,r,2,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：,可视为分立质点结构的刚体,转轴,O,2,m,m,1,6,0,1,l,2,l,11,m12m转轴Or1r2 若连接两小球（视为质点）的轻细,通过,o,点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为,J,O,=,1）,正三角形的各顶点处有一质点,m,，用质量不计的细杆连接，系统对通过质心,C,且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为：,3,+m l,2,=,2,ml,2,=m l,2,+,(3,m,),r,2,=,2,ml,2,例：,质量离散分布刚体:,J,=,m,i,r,i,2,m l,2,o,l,l,l,c,r,m,m,m,12,通过 o 点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量,例：,半径为,R,质量为,M,的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，,求：,转动惯量,J,。,解：,分割质量元,dm,，各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量:,相当于质量为,m,的质点对轴的转动惯量。,与质量在环上的分布无关。,13,例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴,解：,设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。,圆环质量：,所以:,圆环对轴的转动惯量：,转动惯量与质量对轴的分布有关。,例：,一质量为 、半径为 的均匀圆盘，,求：,通过盘中心,O,并与盘面垂直的轴的转动惯量。,O,r,d,r,R,m,dm,圆盘的转动惯量为：,14,解：设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为,O,O,解：,设棒的线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处,的质量元：,例：,一,质量为 、长为 的均匀细长棒，,求：,通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。,O,O,如转轴过端点垂直于棒：,转动惯量与轴的位置有关。,15,OO解：设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为,转动惯量的计算方法：,1）,直接由定义求：,2）,复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，,再相加。,3）,平行轴定理：,转动惯量的大小取决于刚体的,质量,、,形状,、,大小,、,质量分布,及,转轴的位置,。,注意,16,转动惯量的计算方法：1）直接由定义求：2）复杂形状的刚体，可,P,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：,C,O,圆盘对,P,轴的转动惯量为：,O,）平行轴定理：,17,P 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转,例：,长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，利用平行轴定理，,求：,转动惯量。,解：,绕细杆质心的转动惯量为：,绕杆的一端转动惯量为：,O,O,刚体绕质心轴的转动惯量最小。,18,例：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，利用,例：,如图所示，,求：,刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量？,(棒长为L、,圆半径为R）,O,19,例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量？(,例：,半经为,R,，质量为,m,的均匀圆环，,求：,对于沿直径转轴的转动惯量,解：,圆环的质量密度为：,在环上取质量元,dm,，,dm,距转轴为,r,20,例：半经为 R，质量为 m 的均匀圆环，解：圆环的质量密度,根据对称性有：,由垂直轴定理：,*另解,对过环心并与环垂直的转轴的,转动惯量,:,21,根据对称性有：由垂直轴定理：*另解对过环心并与环垂直的转轴的,例：,一长为,a,、宽为,b,的匀质矩形薄平板，质量为,m,，,求：1）,对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量；,2）,对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。,解：,垂直向上为,y,轴，板的质量面密度为：,在板上取长为,a,、宽为,dy,的小面元,22,例：一长为 a、宽为 b 的匀质矩形薄平板，质量为 m，求：,或由平行轴定理：,转轴与长边重合,23,或由平行轴定理：转轴与长边重合23,牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。,事实表明：,要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有,力矩,的作用。,比如：,门绕轴的转动。,对刚体动力学规律的研究可以比照质点的方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。,刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？,力矩：,反映力的,大小、方向、作用点,对物体转动,的影响。,三、刚体定轴转动定律,（Theorem of Rotation）,24,牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。事实表明：要改,O,转动定律的推导：,取刚体内任一质元,m,i,，它,所受合外力为 ，内力为 。,（只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。）,对,m,i,用牛顿第二定律：,（法向力作用线通过转轴，力矩为零。）,两边乘以,r,i,：,求和：,切线方向：,25,O转动定律的推导：取刚体内任一质元mi，它（只考虑合外力,用,M,表示,合外力矩,，有：,转动定律,刚体定轴转动的角加速度与它所受的,合外力矩,成正比，与刚体的,转动惯量,成反比。,说明:,2）,M、J、,是对同一轴而言的。,3）,具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。,1）,是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。,4）,刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当,。,合外力矩,内力矩的和（为零）,26,用 M 表示合外力矩，有：转动定律 刚体,转动定律的应用,题目类型：,1）,已知：,转动惯量和力矩，,求：,角加速度；,2）,已知：,转动惯量和角加速度，,求：,力矩；,3）,已知：,力矩和角加速度，,求：,转动惯量。,解题步骤：,1）,确定,研究对象，采用隔离法；,2）,分析受力情况，画出受力图，找出力矩；,3）,选取适当的,参考系与坐标系,，使运算简化；,4）,列运动方程；,5）,解方程，进行必要的讨论。,27,转动定律的应用27,1）,力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；,2）,可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或,角加速度、角速度的正负；,3）,系统中既有转动物体又有平动物体时，则：,对,转动,物体按,转动定律,列方程；,对,平动,物体按,牛顿定律,列方程。,应用转动定律解题时，应该注意以下几点：,28,1）力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；应用转动定律解题时，,例：,滑轮半径为,r,。,（设绳与滑轮间无相对滑动）,求：1）,当,m,2,与桌面间的摩擦系数为,时，物体的,加速度,a,及张力,T,1,与,T,2,各为多少？,2）,若桌面光滑，再求以上各量。,解：,力和力矩分析，,按隔离法，,建坐标。,对质点用牛顿定律,对刚体用转动定律,限制性条件,29,例：滑轮半径为r。（设绳与滑轮间无相对滑动）求：1）当m,解得：,30,解得：30,例：,一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于,非稳定平衡状态,，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动。,试计算：,细杆转动到与竖直线成 角时的,角加速度,和,角速度,。,解：,细杆受,重力,和,铰链对细杆的,约束力,作用，,由转动定律得,：,31,例：一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端,式中,得,由角加速度的定义:,32,式中得由角加速度的定义:32,例：,物体 m,1,m,2,，定滑轮（R，m）轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。,求：,重物的加速度及绳中张力。,解：,轮轴无摩擦,轻绳不伸长,轮绳不打滑,（转动）,（平动）,（线-角）,R,m,1,m,2,m,T,2,m,1,g,m,2,g,T,1,T,2,T,1,a,a,b,33,例：物体 m1 m2，定滑轮（R，m）轮轴无摩擦，绳,T,2,m,1,g,m,2,g,T,1,T,2,T,1,a,a,b,34,T2m1gm2gT1T2T1aab34,如果考虑轴上,摩擦力矩,（,M,f,不为 0）时，,转动式,为：,T,2,m,1,g,m,2,g,T,1,T,2,T,1,a,a,b,35,如果考虑轴上摩擦力矩（Mf 不为 0）时，转动式为：T2m1,若不计轴上摩擦、不计滑轮质量,（M,f,=0,m=0），,有：,R,m,1,m,2,m,36,若不计轴上摩擦、不计滑轮质量Rm1m2m36,r,m,J,（2）,F,r,J,（1）,恒力,例：,一轻绳绕在半径,r,=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以,F,=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量,J,=0.5 kgm,2,，飞轮与转轴间的摩擦不计。,求：,1),飞轮的角加速度；,2),如以重量,P,=98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。,解：,