非线性动力学汪秉宏课件

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,非线性动力学,第一章,汪 秉 宏,中国科学技术大学,近代物理系,11/14/2024,1,非线性动力学中国科学技术大学 10/9/20231,第一章 引言,1 Newton 力学及其发展,2 非线性动力学的研究对象,3 非线性动力系统模型,的建立,11/14/2024,2,第一章 引言1 Newton 力学及其发展10/9/2,1,Newton,力学及其发展,力学的定性研究时期,（公元前17世纪中叶）Archimedes，Galileo，Kepler,定量研究时期,（17世纪中叶19世纪末）Newton，Lagrange,Hamilton,11/14/2024,3,1 Newton 力学及其发展力学的定性研究时期10/9,（17世纪）,Newton,方程：,基本问题：已知 的函数形式，求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。,基本方法微扰论：,存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，能够精确预言天体的运动。,11/14/2024,4,（17世纪）Newton方程：基本问题：已知 的,18世纪：,Lagrange,方程,Lagrange,函数,11/14/2024,5,18世纪：Lagrange 方程Lagrange 10/9,19世纪,Hamilton,方程,引进广义动量,Hamilton,函数,11/14/2024,6,19世纪 Hamilton 方程引进广义动量Hamilton,Lagrange,Hamilton方程均与Newton方程等价,力学的基本问题、基本方法未变,结论：二百多年来牛顿力学无实质性进展,11/14/2024,7,Lagrange,Hamilton方程均与Newton方程,19世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革,11/14/2024,8,19世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革10/9,太阳系是否稳定？,N,体稳定性问题,微扰是否收敛？,许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如 Dirichlet。,奥斯卡奖1890年授予 Poincare.他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方法 定性方法：几何拓扑，微分拓扑。,力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。求解析解并不解决问题。,11/14/2024,9,太阳系是否稳定？N 体稳定性问题微扰是否收敛？10/9,新力学的理论,特点:,力学的基本问题,研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：研究,相轨图(phase portrait),例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这一问题）给出级数展开式：,如何证明?,11/14/2024,10,新力学的理论特点:力学的基本问题研究系统在相空间中的轨迹的,新力学的理论,特点,基本方法：,定性方法：微分拓扑,大范围分析 代数与群论,数值方法：计算机模拟,大大拓宽了力学的研究领域,发现了许多新的力学现象。如：混沌、,分岔、突变、结构稳定性转变,11/14/2024,11,新力学的理论特点基本方法：10/9/202311,2,非线性动力学的研究对象,非线性动力系统及各种特征系统的现象,a),什么是非线性动力系统？,线性方程：,量,满足的方程,L(),=0,若,（,i,）,是线性空间中一个元素（矢量）,（,ii,）,L(a,b),=,a L(),b L(),非线性动力系统的定义：,一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。,11/14/2024,12,2 非线性动力学的研究对象非线性动力系统及各种特征,非线性动力系统,若一个动力系统由方程,描述，其中,也可以用系综概率密度,(x),的运动描述。,Liuvill,方程：是线性的。两个方程等价。但两者的基本力学量不同。,若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线性,。,11/14/2024,13,非线性动力系统10/9/202313,考虑一对一变换,则非线性方程,有可能化为线性的,习题1：求,G,的显示表达式,有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为,SO,3,流形。称为,运动(Kinetic)非线性。,F的非线性称为,力学非线性。,11/14/2024,14,考虑一对一变换10/9/202314,b),什么是特征非线性现象？,例：考虑映射,设,f(x),x,则,x,n+1,x,n,即使,f,是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征,11/14/2024,15,b)什么是特征非线性现象？例：考虑映射10/9/20,已知的特征非线性现象：,混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征,当,f(x)=r x(1-x),时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。,非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质的变化。,11/14/2024,16,已知的特征非线性现象：混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结,3,非线性动力系统模型的建立,实际系统往往包含巨大数目自由度 s10,23,，从中得出基本力学量及其遵循的方程,微观描述,为控制参量，表示外界的影响,11/14/2024,17,3 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自,亚宏观描述,引进集体运动变量：,忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到,涨落耗散定理,涨落项,11/14/2024,18,亚宏观描述10/9/202318,宏观描述,在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。,设长时间后只剩下,x,1,x,m,的运动，则在,t,时有,Haken称之为随动原理(slaving principle).代入前一方程，消去,x,j,j=m+1,n,得,x,j,j=1,m,称作序参量（基本力学量）,绝热消除法：中心流形 惯性流形,11/14/2024,19,宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉,IP address：,202.38.83.243,User name：guest,Password：guest,FTP Complexity,11/14/2024,20,IP address：FTP Co,Thanks for Attention！,Thanks for Attention！,Thanks for Attention！,Thanks for Attention！,