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第,7,课一元二次方程,第7课一元二次方程,1,定义：,只含有,，并且未知数的最高次数是,，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：,，其中,a,、,b,、,c,分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项,2,解法：,；,；,；,要点梳理,一个未知数,2,ax,2,bx,c,0(,a,、,b,、,c,是已知数，,a,0),直接开平方法,因式分解法,配方法,公式法,1定义：要点梳理一个未知数2ax2bxc0(a、b、,3,公式：,一元二次方程,ax,2,bx,c,0,的求根公式：,4,简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法：,(1),高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于,2,的整式方程,(2),无理方程：根号内含有未知数的方程,(3),解高次方程的思想是“降次”，即把高次方程通过因式分解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程,(4),解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根,x,(,b,2,4,ac,0),3公式：x (b,5,二元二次方程组的概念及解法：,(1),二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组,(2),解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解,5二元二次方程组的概念及解法：,1,正确理解并掌握一元二次方程的概念,识别一元二次方程必须抓住三个条件：,(1),整式方程；,(2),含有一个未知数；,(3),未知数的最高次数是,2.,满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可,在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明各项系数时不要漏掉前面的符号一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数,难点正本 疑点清源,1正确理解并掌握一元二次方程的概念难点正本 疑点清源,2,正确使用各种方法解一元二次方程,一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选择直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公式法则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征灵活运用,解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法，一般没有特别要求的不用配方法,用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义；因式分解法解方程的依据是：若,ab,0,，则,a,0,，或,b,0,，方程的右边一定要化为,0,，才能用因式分解法求解,2正确使用各种方法解一元二次方程,运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求根公式,配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数,a,提出来，使括号中的二次项系数化为,1,，然后通过配方分离出一个完全平方式,运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元,1,(2011,嘉兴,),一元二次方程,x,(,x,1),0,的解是,(,),A,x,0 B,x,1,C,x,0,或,x,1 D,x,0,或,x,1,解析：,x,(,x,1),0,，,x,0,或,x,1,0,，即,x,0,或,x,1.,基础自测,C,1(2011嘉兴)一元二次方程x(x1)0的解是(,2,(2011,南充,),方程,(,x,1)(,x,2),x,1,的解是,(,),A,2 B,3,C,1,2 D,1,3,解析：,(,x,1)(,x,2),x,1,，,(,x,1)(,x,2),(,x,1),0,，,(,x,1)(,x,3),0.,x,1,1,，,x,2,3.,D,2(2011南充)方程(x1)(x2)x1的解是,3,(2011,江西,),已知,x,1,是方程,x,2,bx,2,0,的一个根，则方程的另一个根是,(,),A,1 B,2,C,2 D,1,解析：当,x,1,时，,1,b,2,0,，,b,1.,x,2,x,2,0,，,x,1,1,，,x,2,2,，另一个根是,2.,C,3(2011江西)已知x1是方程x2bx20的一,4,(2011,大理,),三角形的两边长分别是,3,和,6,，第三边的长是方程,x,2,6,x,8,0,的一个根，则这个三角形的周长是,(,),A,9 B,11,C,13 D,11,或,13,解析：方程,x,2,6,x,8,0,的根为,x,2,或,4,，而第三边,3,x,9,，,故,x,4,，三角形周长为,3,6,4,13.,C,4(2011大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长,5,(2011,武汉,),若,x,1,，,x,2,是一元二次方程,x,2,4,x,3,0,的两个根，,则,x,1,x,2,的值是,(,),A,4 B,3,C,4 D,3,解析：方程,x,2,4,x,3,0,，,x,1,1,，,x,2,3,，,所以,x,1,x,2,(,1)(,3),3.,(,或根据根与系数的关系直接得出,x,1,x,2,3.),B,5(2011武汉)若x1，x2是一元二次方程x24x,题型一一元二次方程的解法,【,例,1】,解下列方程：,(1)3,x,2,75,0,解：,3,x,2,75,0,，,x,2,25,，,x,5,，,x,1,5,，,x,2,5.,(2),x,(,x,5),24,解：,x,(,x,5),24,，,x,2,5,x,24,0,，,x,1,8,，,x,2,3.,题型分类 深度剖析,题型一一元二次方程的解法题型分类 深度剖析,(3)(,y,3)(1,3,y,),1,2,y,2,解：,(,y,3)(1,3,y,),1,2,y,2,，,y,3,y,2,3,9,y,1,2,y,2,，,5,y,2,8,y,2,0,，,y,，,y,1,，,y,2,.,(4)(3,x,5),2,5(3,x,5),4,0,解：,(3,x,5),2,5(3,x,5),4,0,，,(3,x,5,1)(3,x,5,4),0,，,(3,x,4)(3,x,1),0,，,3,x,4,0,或,3,x,1,0,，,x,1,，,x,2,.,(3)(y3)(13y)12y2,(5)(1997,x,),2,(,x,1996),2,1,解：解法一：,(1997,x,),2,(,x,1996),2,1,0,，,(1997,x,),2,(,x,1997)(,x,1995),0,，,(,x,1997)(,x,1997),(,x,1995),0,，,2(,x,1997)(,x,1996),0,，,x,1,1997,，,x,2,1996.,解法二：因为,(1997,x,),2,(,x,1996),2,(1997,x,),(,x,1996),2,2(1997,x,)(,x,1996),，,所以原方程可化为：,1,2(1997,x,)(,x,1996),1,，,2(1997,x,)(,x,1996),0,，,x,1,1997,，,x,2,1996.,(5)(1997x)2(x1996)21,探究提高,解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法一般没有特别要求的不用配方法,知能迁移,1,解方程：,(1)(2,x,1),2,9(,用直接开平方法,),；,解：,(2,x,1),2,9,2,x,1,3,，,x,，,x,1,2,，,x,2,1.,探究提高,(2),x,2,3,x,4,0(,用配方法,),；,解：,x,2,3,x,4,0,，,x,2,3,x,4,，,x,2,3,x,4,，,(,x,),2,，,x,，,x,，,x,1,1,，,x,2,4.,(3),x,2,2,x,8,0(,用因式分解法,),；,解：,x,2,2,x,8,0,，,(,x,4)(,x,2),0,，,x,4,0,或,x,2,0,，,x,1,4,，,x,2,2.,(2)x23x40(用配方法)；,(4),x,(,x,1),2(,x,1),0.,解：,x,(,x,1),2(,x,1),0,，,x,2,x,2,x,2,0,，,x,2,3,x,2,0,，,x,.,x,1,，,x,2,.,(4)x(x1)2(x1)0.,题型二配方法,【,例,2】,试说明：代数式,2,x,2,x,3,的值不小于,.,解题示范,规范步骤，该得的分，一分不丢！,解：,2,x,2,x,3,2(,x,2,x,),3,2,x,2,x,(),2,(),2,3,2(,x,),2,3,2(,x,),2,3,2(,x,),2,.,不论,x,取何实数，,2(,x,),2,0,，,2(,x,),2,.,即代数式,2,x,2,x,3,的值不小于,.,题型二配方法,探究提高,配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数,2,提出来，使括号中的二次项系数化为,1,，然后通过配方分离出一个完全平方式,探究提高,知能迁移,2,对于二次二项式,x,2,10,x,36,，小聪同学作出如下结论：无论,x,取什么实数，它的值都不可能等于,11,，你是否同意他的说法？说明你的理由,解：不同意小聪的说法,理由如下：,x,2,10,x,36,x,2,10,x,25,11,(,x,5),2,1111,，当,x,5,时，,x,2,10,x,36,有最小值,11.,知能迁移2对于二次二项式x210 x36，小聪同学作出如,题型三应用方程根的定义解题,【,例,3】(1)(2010,绵阳,),若实数,m,是方程,x,2,x,1,0,的一个根，则,m,4,m,4,_.,解析：,x,m,m,2,m,1,0,，,m,2,1,m,，,m,，,两边平方，得,m,2,2,10,，,m,2,8,，,再平方，得,m,4,2,64,，,m,4,62,，,即,m,4,m,4,62.,62,题型三应用方程根的定义解题62,(2),已知,a,是方程,x,2,2009,x,1,0,的一个根，试求,a,2,2008,a,值,解：,x,a,，,a,2,2009,a,1,0,，,a,2,2008,a,a,1,，,a,2,1,2009,a,，,.,原式,a,1,2008.,(2)已知a是方程x22009x10的一个根，试求a2,探究提高,1.,利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值,2,采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得,(2),中代数式的值,探究提高,知能迁移,3,(1),已知方程,x,2,kx,6,0,的一个根是,2,，求它的另一个根及,k,的值；,解：,x,2,，,4,2,k,6,0,，,2,k,2,，,k,1.,x,2,x,6,0,，,x,1,2,，,x,2,3.,方程的另一个根是,3,，,k,1.,知能迁移3(1)已知方程x2kx60的一个根是2，求,(2),已知关于,x,的二次方程,x,2,mx,n,0,的一个解是,2,，另一个解是正数，且也是方程,(,x,4),2,52,3,x,的解你能求出,m,和,n,的值吗？,解：,(,x,4),2,52,3,x,，,x,2,5,x,36,0,，,x,1,4,，,x,2,9,，,x,2,mx,n,0,的两根是,2,和,4,，,即,解得,(2)已知关于x的二次方程x2mxn0的一个解是2，另,(3)(2010,广州,),已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,bx,1,0(,a,0),有两个相等的实数根，求 的值,分析：,对于,(3),，由于这个方程有两个相等的实数根，因此,b,2,4,a,0,，可得出,a,、,b,之间的关系，然后将 化简后，用含,b,的代数式表示,a,，即可求出这个分式的值,(3)(2010广州)已知关于x的一元二次方程ax2bx,解：,ax,2,bx,1,0(,a,0),有两个相等的实数根，,b,2
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