高等数学-常数项级数课件

,高等数学,浙江师范大学数理与信息工程学院,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,常数项级数,幂级数,傅里叶级数,第十二章,无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,第一节,第十二章,常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的,一、常数项级数的概念,引例,1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,式中的项数无限增多,一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆,定义：,给定一个数列,由这个数列,称为常数项,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,构成的表达式,简记为,当,n,依次取,1,2,3,时，他们构成一个新的数列：,定义：给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数，其中第 n,定义,：如果级数,收敛,则称无穷级数,并称,S,为,级数的和,记作,的部分和数列,S,n,有极限,S,，即,则称,无穷级数发散,.,当级数收敛时,称差值,为级数的,余项,.,显然,定义：如果级数收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作,例,1.,讨论等比级数,(,又称几何级数,),(,q,称为公比,),的敛散性,.,解,:,1),若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散,.,其和为,例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比),2).,若,因此级数发散,;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合,1),、,2),可知,时,等比级数收敛,;,时,等比级数发散,.,则,级数成为,不存在,因此级数发散,.,2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合,例,2.,证明级数,是发散的,.,证明：这级数的部分和为：,显然，,因此所给级数是发散的,.,例2.证明级数是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，因此,例,3.,判别下列级数的敛散性,:,解,:,(1),所以级数,(1),发散,;,技巧,:,利用,“,拆项相消,”,求和,例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1),(2),所以级数,(2),收敛,其和为,1.,技巧,:,利用,“,拆项相消,”,求和,(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧:利用,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,故原级数收敛,其和为,例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为,二、收敛级数的基本性质,性质,1.,若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,k,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,k S.,说明,:,级数各项乘以非零常数后其敛散性不变,.,即,其和为,k S.,二、收敛级数的基本性质 性质1.若级数收敛于 S,则各,性质,2.,设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,例如,(1),性质,2,表明,收敛级数可逐项相加或相减,.,(,用反证法可证,),说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.,性质,3.,在级数中加上、去掉或改变,有限项,不会改变,级数的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况,.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散,性质,4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,注意,:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,但,发散,.,因此必有,例如,，,用反证法可证,例如,性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:,三、级数收敛的必要条件,性质,5,：,设收敛级数,则必有,证,:,可见,:,若级数的一般项不趋于,0,则级数必发散,.,例如,其一般项为,不趋于,0,因此这个级数发散,.,三、级数收敛的必要条件 性质5：设收敛级数则必有证:可见,注意,:,并非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散,.,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真,.,注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发,例,4.,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从,例,5.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和,:,解,:,(1),令,则,故,从而,这说明级数,(1),发散,.,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1),因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2),这说明原级数收敛,其和为,3.,(3),这说明原级数收敛,其和为 3.(3),作业,P258,1,(3),；,2,(3),(4),；,4,(1),(3),(5).,作业,