双曲线及其标准方程1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3双曲线,2.3.1双曲线及其标准方程,1.,椭圆的定义,和,等于常数,2,a,(,2,a,|F,1,F,2,|,0,),的点的轨迹,.,平面内与两定点,F,1,、,F,2,的距离的,2.,引入问题：,差,等于常数,的点的轨迹是什么呢？,平面内与两定点,F,1,、,F,2,的距离的,一、复习,双曲线图象,拉链画双曲线,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,(,2,a,|F,1,F,2,|,0,),如图,(A),，,|MF,1,|,-,|MF,2,|=|F,2,F|=2,a,如图,(B),，,上面两条曲线合起来叫做双曲线。,由可得：,|MF,1,|,-,|MF,2,|=2,a,（,差的绝对值）,|MF,2,|,-,|MF,1,|=|F,1,F|=2,a,两个定点,F,1,、,F,2,双曲线的,焦点,;,|F,1,F,2,|=2,c ,焦距,.,（1）2a0；,二、双曲线定义,说明,|MF,1,|-|MF,2,|,=2a,注意：对于双曲线定义须抓住三点：,1,、平面内的动点到两定点的,距离之差的绝对值,是一个常数；,2,、这个常数要小于,|F,1,F,2,|,；,3,、这个常数要是非零常数。,相关结论：,1、当,|MF,1,|-|MF,2,|=2a|F,1,F,2,|,时,4、当,|MF,1,|-|MF,2,|=2a=0,时，,M,点,轨迹是双曲线,其中当,|MF,1,|-|MF,2,|=2a,时，,M,点轨迹是与,F,2,对应的双曲线的一,支；,当,|MF,2,|,-,|MF,1,|=2a,时，,M,点轨迹是与,F,1,对应的双曲线的,一支。,M点轨迹是在直,线,F,1,F,2,上且以F,1,和F,2,为端点向外的两条射线。,M点的轨迹是线段,F,1,F,2,的垂直平分线。,o,F,2,F,1,M,M,点的轨迹,不存在。,F,2,F,1,M,x,O,y,求曲线方程的步骤：,三、双曲线的标准方程,1.,建系,.,以,F,1,F,2,所在的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的中点为原点建立直角坐标系,2.,设点,设M（x,y）,则F,1,(-c,0),F,2,(c,0),3.,列式,|MF,1,|-|MF,2,|=2a,4.,化简,此即为焦点在,x,轴上的双曲线的标准方程,F,2,F,1,M,x,O,y,O,M,F,2,F,1,x,y,若建系时,焦点在,y,轴上呢,?,看 前,的,系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,2,、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系,?,1,、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,问题,定 义,方 程,焦 点,a.b.c,的关系,F（c，0）,F（c，0）,a,0,，,b,0,，但,a,不一定大于,b,，,c,2,=,a,2,+,b,2,a,b,0，,a,2,=b,2,+c,2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF,1,|MF,2,|=2a,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,椭 圆,双曲线,F（0，c）,F（0，c）,四、例题讲解：,例,1.,根据方程，写出,a,、,b,的值和焦点坐标。,例,2,.,已知,双曲线两个焦点的坐标为,F,1,(-5,0),、,F,2,(5,0),双曲线上一点,P,到,F,1,、,F,2,的,距离的差的,绝对值等于,6,，求双曲线的标准方程。,解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的,2a=6,，,2c=10,a=3,，,c=5,b,2,=5,2,-3,2,=16,所求双曲线的标准方程为,标准方程为,思考：双曲线,上一点,，若,|PF,1,|=10,则,|PF,2,|=_,4或16,定义,双曲线图象,方程,焦点,a.b.c,的关系,|MF,1,|,-,|MF,2,|=2,a,（2,a,1,则关于,x,、,y,的方程,(1-k)x,2,+y,2,=k,2,-1,所表示的曲线是 （,),解：原方程化为：,A、焦点在x轴上的椭圆,C、焦点在y轴上的椭圆,B、焦点在y轴上的双曲线,D、焦点在x轴上的双曲线,k,1,k,2,1 0,，,1+k 0,方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。,故 选（B）,B,练习,1.,方程,mx,2,-,my,2,=,n,中,mn,0,，,则其表示焦点在,轴上的,.,双曲线,2,、,若方程,(,k,2,+,k,-2),x,2,+(,k,+1),y,2,=1,的曲线是焦点在,y,轴上的,双曲线，则,k,.,(-1,1),3.,双曲线 的焦点坐标是,.,y,4.,双曲线 的焦距是,6,，则,k,=,.,6,x,2,与,y,2,的系数的大小,x,2,与,y,2,的系数的正负,c,2,=,a,2,+,b,2,AB,680,m,所以,爆炸点的轨迹是以,A,、,B,为焦点的双曲线在靠近,B,处的一支上,.,例题,.(,课本第,54,页,),已知,A,B,两地相距,800,m,在,A,地听到炮弹爆炸声比在,B,地晚,2,s,且声速为,340,m,/,s,求炮弹爆炸点的轨迹方程,.,如图所示，建立直角坐标系,x,O,y,设爆炸点,P,的坐标为,(,x,y,),，则,即,2,a,=680,，,a,=340,x,y,o,P,B,A,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,答,:,再增设一个观测点,C,，,利用,B,、,C,（或,A,、,C,）,两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置,.,这是双曲线的一个重要应用,.,书本,55,页 探究题,解,:,在,ABC,中,|,BC,|=10，,故顶点,A,的轨迹是,以,B,、,C,为焦点的双曲线的左支,又因,c,=5,，,a,=3,，则,b,=4,则顶点,A,的轨迹方程为,1.,若方程 表示双曲线，求实数,k,的,取值范围,.,-2,k,5,思考题：,