高斯公式与斯托克斯公式3(共23张PPT)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8-6,高斯公式与斯托克斯公式,格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。,定理,1(,高斯公式,),则有,1.,高斯公式,第1页，共23页。,记做,，则,高斯公式可写成,上式在物理上称为,向量通过曲面的,通量,即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所包围的区域上的三重积分,记,的,散度,，,定义为向量函数（场）,第2页，共23页。,证,第3页，共23页。,对于一般的,区域,则可引进辅助面,将其分割成,若干个 与上类似的小区域,则在每个小区域上式成立,.,故上式仍成立,.,然后相加,因为在辅助面,正反两侧面积分正负抵消,类似可证,三式相加,即得所证,Gauss,公式,：,第4页，共23页。,Gauss,公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,.,由两类曲面积分之间的关系知,第5页，共23页。,使用,Guass,公式时应注意验证条件,:,1.,是取闭曲面 的外侧；,.,是封闭曲面；,2,第6页，共23页。,例,1,求,其中 是球面 的外侧,.,解,记球面,所 包围的球体为 ，由,高斯公式，有,由于球体关于 平面对称，且 是 的奇函数，因此,同理有,于是,第7页，共23页。,则斯托克斯公式就是格林公式,其中 为椭圆周：，从,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,记 所围的球面部分为 ，并取 的上侧为,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,由于 关于 轴对称，,三式相加,即得斯托克斯公式;,关于 的奇函数的部分为 .,即为常向量 ，故其单位法向量为,其中 是锥面 中的部分 的外侧.,则斯托克斯公式就是格林公式,例,2,求曲面积分,其中 是锥面 中的部分 的外侧,.,o,解,取平面,则 组成封闭曲面,.,记 围成,的区域为 ，,于是有,第8页，共23页。,因为,所以,由对称性知,又,最后得,第9页，共23页。,定义为向量函数（场）,则斯托克斯公式就是格林公式,即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所包围的区域上的三重积分,的交线，且 与球面的上侧成右手系.,即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所包围的区域上的三重积分,设为分片光滑的双侧曲面，其边界是一条或几条分段光滑的闭曲线,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,三式相加,即得斯托克斯公式;,的交线，且 与球面的上侧成右手系.,则可引进辅助面将其分割成,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。,的定向，使得的定向与的指向构成右手系，,即为常向量 ，故其单位法向量为,0,x,z,y,1,1,第10页，共23页。,第11页，共23页。,定理（斯托克斯公式）,设为分片光滑的双侧曲面，其边界是一条或几条分段光滑的闭曲线,假定在上取定一侧的单位法向量为,再规定,的定向，使得的定向与的指向构成右手系，,记 及分别为给定的上述定向后的及，,斯托克斯公式,2.,斯托克斯公式,斯托克斯公式建立了沿曲面,S,的,曲面积分,与,沿,S,的边界曲线,L,的,曲线积分,之间的联系,.,第12页，共23页。,注意,:,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例,.,如果,S,是,xoy,坐标平面上的一块平面区域,第13页，共23页。,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,:,或用第一类曲面积分表示,:,第14页，共23页。,若记,并定义,称作向量场 的,旋度,.,第15页，共23页。,证,情形,1,S,与平行,z,轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见,不妨设,S,取上侧,(,如图,).,(,利用格林公式,),则,第16页，共23页。,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式,;,第17页，共23页。,情形,2,曲面,S,与平行,z,轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把,S,分成与,z,轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立,.,证毕,第18页，共23页。,内容小结,1.,高斯公式,2.,斯托克斯公式,第19页，共23页。,例,4,求,其中 为球面 与柱面,的交线，且 与球面的上侧成右手系,.,解,记 所围的球面部分为 ，并取 的上侧为,的方程为,第20页，共23页。,代入第五节中公式（,8.10,）得,由于 关于 轴对称，,其中区域,关于 的奇函数的部分为,.,于是,第21页，共23页。,例,5,求,其中 为椭圆周：，从,轴正向看去，为逆时针方向,.,解,记 所围的椭圆为 ，取 的上侧，即 的法方向与 轴成锐角，这时 的正向与 指定一侧的法向量成右手系,.,又因 是平面，其上各点的法向量都相等，,即为常向量 ，故其单位法向量为,=,第22页，共23页。,由斯托克斯公式（,8.31),并注意椭圆 的长、短半轴分别,为 及 ，则有,第23页，共23页。,