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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3,垂径定理,第三章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,3.3 垂径定理第三章 圆导入新课讲授新课当堂练习课堂,1.,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形,.,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题,.,（重点）,3.,灵活运用垂径定理解决有关圆的问题,.,（难点）,学习目标,1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标,问题,:,你知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.23m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新课,情境引入,问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的,问题：,如图,AB,是,O,的一条弦,直径,CD,AB,垂足为,P,.,你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧,?,为什么,?,线段,:,AP,=,BP,弧,:,AC=BC,AD=BD,理由如下：,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合，,A,P,与,B,P,重合，,AC,和,BC,AD,与,BD,重合,O,A,B,D,P,C,讲授新课,垂径定理及其推论,一,问题：如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为P,O,A,B,D,C,P,试一试,已知：在,O,中，,CD,是直径，,AB,是弦，,AB,CD,，垂足为,P,.,求证：,AP=BP,，,AC,=,BC,AD,=,BD.,证明：连接,OA,、,OB,、,CA,、,CB,，则,OA=OB,.,即,AOB,是等腰三角形,.,AB,CD,，,AP=BP,，,AC,=,BC.,AD,=,BD,，,AOC=BOC,.,从而,AOD=BOD,.,想一想：,能不能用所学过的知识证明你的结论？,OABDCP试一试已知：在O中，CD是直径，AB是弦，A,垂径定理,O,A,B,C,D,P,垂直于弦的直径,平分这条弦,并且平分弦所对的弧,.,CD,是直径，,CD,AB,，,(条件),AP,=,BP,AC,=,BC,AD,=,BD.,(,结论,),归纳总结,推导格式：,温馨提示：,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所,想一想：,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为,CD,没有过圆心,A,B,O,C,D,E,O,A,B,C,A,B,O,E,A,B,D,C,O,E,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什,垂径定理的几个基本图形：,A,B,O,C,D,E,A,B,O,E,D,A,B,O,D,C,A,B,O,C,归纳总结,垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCA,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？,过圆心；垂直于弦；平分弦；,平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧,.,上述五个条件中的,任何两个条件,都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦,D,O,A,B,E,C,举例证明其中一种组合方法,已知,:,求证：,CD,是直径,CDAB,，垂足为,E,AE=BE,AC=BC AD=BD,证明猜想,DOABEC举例证明其中一种组合方法 CD,AC,与,BC,相等吗？,AD,与,BD,相等吗？为什么？,如图，,AB,是,O,的一条弦，作直径,CD,，使,AE=BE.,（,1,）,CD,AB,吗？为什么？,（,2,）,O,A,B,C,D,E,（,2,）由垂径定理可得,AC=BC,，,AD=BD.,（,1,）连接,AO,BO,则,AO=BO,又,AE,=,BE,，,AOE,BOE,（,SSS,）,，,AEO,=,BEO,=90,，,CD,AB,.,证明举例,AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？如图，AB是,思考：,“,不是直径,”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例,.,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,.,垂径定理,的推论,O,A,B,C,D,特别说明：,圆的两条直径是互相平分的,.,归纳总结,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,垂径定理的本质是:,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（,1,）一条直线过圆心,（,2,）这条直线垂直于弦,（,3,）这条直线平分,不是直径的,弦,（,4,）这条直线平分,不是直径的,弦所对的优弧,（,5,）这条直线平分,不是直径的,弦所对的劣弧,垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一,例,1,如图，,OE,AB,于,E,，若,O,的半径为,10,cm,OE,=6,cm,则,AB,=,cm,.,O,A,B,E,解析：连接,OA,，,OE,AB,，,AB,=2,AE,=16,cm,.,16,一,垂径定理及其推论的计算,二,cm.,典例精析,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OA,例,2,如图，,O,的弦,AB,8,cm,，,直径,CE,AB,于,D,，,DC,2,cm,，,求半径,OC,的长,.,O,A,B,E,C,D,解：连接,OA,，,CE,AB,于,D,，,设,OC,=,x,cm,，,则,OD,=,x,-2,根据勾股定理，得,解得,x,=5,，,即半径,OC,的长为,5cm.,x,2,=4,2,+(,x,-2),2,，,例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D,例,3,：,已知：,O,中弦,ABCD,求证：,AC,BD.,.,M,C,D,A,B,O,N,证明：作直径,MNAB.,ABCD,，,MNCD.,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直弦的直径平分弦所对的弧）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,例3：已知：O中弦ABCD,.MCDABON证明：作,试一试：,根据所学,新知,，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗,?,垂径定理的实际应用,三,试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱,A,B,O,C,D,解：如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在圆的圆心为,O,，,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与弧,AB,交于点,C,，,则,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB,=37m,，,CD,=7.23m.,AD,=,AB,=18.5m,，,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O,解得,R,27.3,（,m,）,.,即主桥拱半径约为,27.3m.,R,2,=18.5,2,+(,R,-,7.23),2,解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=1,例,4,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD,=,600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OE,CD,，,垂足为,F,EF,=,90m,.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,设这段弯路的半径为,R,m,则,OF,=(,R,-90)m.,根据勾股定理，得,解得,R,=545.,这段弯路的半径约为,545m.,例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O,如图,a,、,b,一弓形弦长为,cm,，弓形所在的圆的半径为,7cm,，,则弓形的高为,_,.,C,D,C,B,O,A,D,O,A,B,图,a,图,b,2cm,或,12cm,针对训练,如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为,在圆中有关弦长,a,半径,r,弦心距,d,（,圆心到弦的距离,），弓形高,h,的计算题，常常通过,连半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,方法归纳,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦,a,，,弦心距,d,，,弓形高,h,，,半径,r,之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,d+h=r,O,A,B,C,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓,1.,已知,O,中，弦,AB,=8cm,，,圆心到,AB,的距离为,3cm,，则此圆的半径为,.,5cm,2.,O,的直径,AB,=20cm,BAC,=30,则弦,AC,=,.,10 3 cm,当堂练习,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则,3.,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,3.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,4.,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。你认为,AC,和,BD,有什么关系？为什么？,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,即,AC,BD.,O,.,A,C,D,B,E,4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB,6.,（分类讨论题）,已知,O,的半径为,10cm,，弦,MNEF,且,MN,=12cm,EF,=16cm,则弦,MN,和,EF,之间的距离为,.,14cm,或,2cm,5.,如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为,_,6.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且,7.,如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径,解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，,OEAB于F，AF=AB=3m，,设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，,AO=r，OF=r-2，,在RtAOF中，由勾股定理可知：AO,2,=AF,2,+OF,2,，,即r,2,=3,2,+（r-2）,2,，解得r=m,即，AB所在圆O的半径为 m,7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，,拓展提升：,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB,=,8,P,为,AB,上的一个动点，那么,OP,长的,取值范围,.,3cm,OP,5cm,B,A,O,P,拓展提升：3cmOP5cmBAOP,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线,满足,:,过圆心,;,垂直于弦,;,平分弦,（,不是直径,）,;,平分弦所对的优弧,;,平分弦所对的劣弧,.,满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（,“,知二推三,”）,垂直于弦的直径,平分这条弦,并且平分弦所对的弧,.,两条辅助线：,连半径，作弦心距,构造,Rt,利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,课堂小结,垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;,
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