第二节 拉氏变换公式PPT课件

第二章 拉普拉斯变换的数学方法,机械工程控制基础,第二节,拉氏变换,设函数,f(t),满足：,1.f(t),实函数；,2.,当,t0,时，,f(t)=0,；,3.,当,t,0,时,f(t),在每个区间上是分段连续的,3.f(t),的积分 在,s,的某一域内收敛，,s,为复变数,一、拉氏变换的定义,则函数,f(t),的拉普拉氏变换存在，并定义为：,式中：,s=+j,（,，,均为正实数）；,F(s),称为函数,f(t),的,拉普拉氏变换,或,象函数,;,f(t),称为,F(s),的,原函数,；,L,为拉氏变换的符号。,（,2,9,）,拉氏反变换的定义,其中,L,1,为拉氏反变换的符号。,称为,收敛因子,。,积分的结果不再是,t,的函数，而是复变量,s,的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数,f,(,t,),变换到,s,域内的复变函数,F,(,s,),。,用符号,L,-1,表示对方括号里的复变函数作拉氏,反变换,。,（,2,10,）,（,2,11,）,阶跃函数的拉氏变换,二、,典型函数的拉氏变换,（,2,12,）,斜坡函数,单位速度函数的拉氏变换,（,2,13,）,幂函数 拉氏变换（法,1,）,根据函数,则,令,（,2,14,）,幂函数的拉氏变换（法,2,）,（,2,15,）,抛物线函数,单位加速度函数拉氏变换,（,2,16,）,洛必达法则,单位脉冲函数拉氏变换,（,2,17,）,指数函数的拉氏变换,（,2,18,）,例,2-1,：求解函数,的拉氏变换,（欧拉公式）,三角函数的拉氏变换,（,2,19,）,（,2,20,）,例,2-2,：求解函数,的拉氏变换,高等函数,初等函数,指数函数,三角函数,单位脉冲函数,单位阶跃函数,单位速度函数,单位加速度函数,幂函数,典型函数的拉氏变换小结,例,2-3,：求解函数,的拉氏变换,三、拉氏变换的主要运算定理,线性定理,微分定理,积分定理,位移定理,延时定理,卷积定理,初值定理,终值定理,比例定理,线性定理,叠加定理,L,K,(1-e,-,at,),=,L,K,-,L,Ke,-,at,结论：,由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,例,2-4,：求以下函数的拉氏变换：,f,(,t,)=,K,(1-e,-,at,),微分定理,原函数的高阶导数,像函数中,s,的高次代数式,多重微分,（,2,21,）,解,：（,1,）,例,2-5,：利用导数性质求以下函数的象函数：,（,1,）,f,(,t,)=cos(,t,),（,2,）,f,(,t,)=,(t),（,2,）,由于,(t),=,d(t),/,dt,=1,f,(,t,)=,(t),=,s,-,0,积分定理,原函数的,n,重积分,像函数中除以,s,n,多重积分,（,2,22,）,例,2-6,：利用积分性质求函数,f,(,t,)=,t,的象函数,解,：,f,(,t,)=,t,L,f(t),=,原函数乘以指数函数,e,-at,像函数,F(S),在复数域中作位移,a,衰减定理（复位移定理）,（,2,23,）,例,2-7,：求 的拉氏变换,解：直接用复位移定理得：,求 的拉氏变换？,原函数平移,像函数乘以,e,-s,延时定理（实位移定理）,（,2,24,）,O,t,f(t),T,例,2-8,：求,f(t),的象函数,解：,f(t)=,=A,(t),A,-A,(t-T),L,f(t),=,A/s-,A/s,e,-sT,O,t,f(t),O,t,f(t),f(t)+f(t),例,2-9,：求图所示三角波的拉氏变换,从图可知，三角波左边函数斜率为 ，右边函数斜率为,，则分段函数可表示为：,原函数,f(t),的稳态性质,sF(s),在,s=0,邻域内的性质,终值定理,（,2,25,）,初值定理,（,2,26,）,卷积定理,（,2,27,）,证：令,则,再令,则,尺度变换定理,（,2,28,）,复数域积分定理,证：,（,2,29,）,例,2-10,：求如下函数的拉氏变换,证：,复数域微分定理,推论：,（,2,30,）,例,2-11,：求如下函数的拉氏变换,例,2-12,：已知因果函数,f(t),的象函数,求 的象函数,解：由于,利用实位移定理,由尺度变换定理,由复位移定理,练 习,练习,2-1,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-2,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-3,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-4,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-5,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-6,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-7,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-8,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-9,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-1,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-2,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-3,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-4,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-5,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-6,：求如下函数的拉氏变换,练习,2-7,：求如下函数的拉氏变换,