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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主讲老师 潘学国,数 列,主讲老师 潘学国数 列,1,2.2 等差数列,2.2 等差数列,2,第一课时,2.2.1 等差数列,第一课时2.2.1 等差数列,3,1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:,a,n,2.通项公式:数列,a,n,中第n项,a,n,与n之间的关系式。,3.数列的分类,(1)按项数分：,有穷数列，,(2)按项之间的大小关系：,递增数列，,递减数列，,无穷数列,摆动数列，,常数列。,4.数列的实质,5.递推公式:,如果已知,a,n,的第1项(或前n项),且任一项,a,n,与它的前一项,a,n-1,(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.,课前回顾,1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:an2.,4,在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：,（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）,你能预测出下一次的大致时间吗？,2062,相差76,情境引入,在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷,5,通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。,8844.43米,(2)28,21.5,15,8.5,2,-24.,减少6.5,高度(km),温度(),1,2,3,28,21.5,15,7,-11,4,5,8.5,2,6,-4.5,9,-24,通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的,6,（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062,请问,：,它们有什么共同特点？,（2）28,21.5,15,8.5,2,-24,（3）1，1，1，1，.,共同特点：,从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。,定义：,如果一个数列从,第2项,起，,每一项与它的前一项,的差都等于,同一个常数,，那么这个数列就叫做等差数列,.,这个常数叫做等差数列的,公差,，公差通常用,d,表示.,d=76,d=-6.5,d=0,观察归纳,（1）1682，1758，1834，1910，1986，20,7,它们是等差数列吗？,(2)5，5，5，5，5，5，,公差 d=0,公差 d=2x,(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,【说明】,数列,a,n,为等差数列,a,n+1,-,a,n,=d,(,n,1,),(3),它们是等差数列吗？(2)5，5，5，5，5，5，,8,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2，()，4 （2）-12，()，0,3,-6,如果在,a,与,b,中间插入一个数,A,，使a，,A,，b成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,。即：,思 考,数列,a,n,为等差数列,【说明】,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数,9,1，4，7，10，13，16，(),(),你能求出该数列的通项公式吗？,思考:根据规律填空?,要是有通项公式该有多好啊！,19,22,合作探究,1，4，7，10，13，16，(),(,10,推导一,如果一个数列,是等差数列，它的公差是d，那么,通项公式：,归纳得:,推导一如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么通项公式,11,叠加得,推导二,通项公式：,叠加得推导二通项公式：,12,在等差数列通项公式中，有四个量，,知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一.,在等差数列通项公式中，有四个量，知道其中的任,13,例1：,(1)求等差数列8，5，2，的第20项；,解：,(2)401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,解：,因此，,解得,20,3,8,5,8,1,=,-,=,-,=,=,n,d,a,Q,用一下,例1：(1)求等差数列8，5，2，的第20项；解：(2,14,例2：,在等差数列中,已知,a,5,=10,a,12,=31,解：,由题意可知,即这个等差数列的首项是-，公差是.,求首项,a,1,与公差,d,。,解得：,说明：,在等差数列中，首项a,1,与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a,1,，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量。,例2：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,解：由题意,15,例3：,某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？,解：,根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.,所以，我们可以建立一个等差数列,a,n,来计算车费.,令,a,1,=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。,那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费,a,11,=11.2(111)1.2=23.2,答：需要支付车费23.2元。,例3：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即,16,思考题：,1、,第,15,届现代奥运会于,1952,年在芬兰赫尔辛基举行，每,4,年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。,（,1,）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。,（,2,）,2008,年北京奥运会是第几届？,（,3,）,2050,年举行奥运会吗？,2、,梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽.,思考题：,17,例4：,已知数列,a,n,的通项公式为,a,n,=,pn,+,q,，其中,p,、,q,为常数且,p,0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断。,证法1：取数列,a,n,中的任意相邻两项,a,n,与,a,n,-1,(,n,2),，则,p,是一个与,n,无关的常数,a,n,是一个等差数列。,解：数列,a,n,是一个等差数列。,例4：已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p、q,18,证法2：取数列,a,n,中的任意相邻三项,a,n,，,a,n,+1,，,a,n,+2,，,则有,a,n,+,a,n+,2,=,(,pn+q,),+,p,(,n+,2),+q,=,2,pn+,2,p+,2,q,=,2,p,(,n+,1),+q,=,2,a,n+,1,a,n,是一个等差数列。,【说明】,判断等差数列的方法：,1、数列,a,n,为等差数列,a,n+1,-,a,n,=d,(,n,1,),2、数列,a,n,为等差数列,证法2：取数列an中的任意相邻三项an，an+1 ，,19,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,20,等差数列的图象2,（2）数列：7，4，1，-2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，123456,21,等差数列的图象3,（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，1,22,从函数的角度来看等差数列通项公式：,所以等差数列通项公式也可以表示为：,通项公式：,直线的一般形式：,故等差数列的图象为相应直线上的点。,从函数的角度来看等差数列通项公式：所以等差数列通项公式也可以,23,探究：,已知等差数列 中，公差为d，则 与 (n,m N*)有何关系？,解：由等差数列的通项公式知,，,（这是等差数列通项公式的推广形式）,探究：已知等差数列 中，公差为d，则 与,24,推广后的通项公式：,(,n-m,),d,例5：,在等差数列,a,n,中,(1)若,a,59,=70，,a,80,=112，求,a,101,；,(2)若,a,p,=,q,，,a,q,=,p,(,pq,)，求,a,p+q,；,(3)若,a,12,=23，,a,42,=143，,a,n,=263，求,n,.,d=,2,a,101,=154,d=,-1,a,p+q,=,0,d=,4,n,=72,推广后的通项公式：(n-m)d例5：在等差数列an中,25,1.求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；,2.100是不是等差数列2，9，16，中的项？,3.-20是不是等差数列0，-，-7中的项；,练一练,1.求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；2.,26,练一练,4.在等差数列中,练一练4.在等差数列中,27,探究：,求出下列数列的公差.,（1）1，6，11，16，,（2）-8，-6，-4，-2，,（3）10，5，0，-5，,（4）21，19，17，15，,（5）3，3，3，3，,【,说明,】,已知数列,a,n,是等差数列，,d,是公差，则：,当,d=,0时，,a,n,为常数列；,当,d,0时，,a,n,为递增数列；,当,d,0时，,a,n,为递减数列。,思考：,上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？,d,=5,d,=2,d,=-5,d,=-2,d,=0,探究：求出下列数列的公差.【说明】已知数列an是等差数列,28,例6：,在等差数列,a,n,中，,a,6,19,a,15,=46，求,a,4,+,a,17,的值,解：,a,6,a,1,+,5,d=,19,，,a,15,=a,1,+,14,d=,46，,a,6,+a,15,=,2,a,1,+,19,d=,19+46=65，,a,4,+,a,17,=,a,1,+3,d+a,1,+16,d,=,2,a,1,+19,d,=65.,【说明】,例6：在等差数列an中，a619,a15=46，求a,29,练习:,在等差数列,a,n,中，,(1)已知,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20，求：,a,1,+,a,20；,(2)已知,a,3,+,a,11,=10，求：,a,6,+,a,7,+,a,8；,(3)已知,a,2,+,a,14,=10，能求出,a,16,吗？,10,15,(4)已知,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=56，,a,4,a,7,=187，求,a,14,及公差,d,.,d=,_,2,a,14,=,_,3,d=2,a,14,=,31,或,不能,练习:在等差数列an中，1015(4)已知 a4+a5+,30,例7：,在等差数列,a,n,中，,a,15,8,a,60,=20，求,a,75,的值,所以,a,15,，,a,30,，,a,45,，,a,60,a,75,也成等差数列，其公差为D，,a,15,为首项，,a,60,为第四项，则有,a,60,-,a,15,=3D=208=12，D=4,a,75,=,a,60,+D=24.,【说明】,解：,因为,a,n,是等差数列，,等差数列,a,n,每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列。即：,a,m,，,a,m+k,，,a,m+2k,，,成等差数列。,例7：在等差数列an中，a158,a60=20，求a,31,例8：,三数成等差数列，它们的和为,12,，首尾二数的积也为,12,，求此三数.,解：设这三个数分别为,a,-,d,，,a,，,a,+,d,则(,a,-,d,)+,a,+(,a,+,d,)=12，即3,a,=12,a,=4,又,(,a,-,d,)(,a,+,d,)=12，即(4-,d,)(4+,d,)=12,解得,d,=2,当d=2时，这三个数分别为2，4，6,当d=-2时，这三个数分别为6
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