资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chapter 1(1),矩阵及其运算,教学要求：,1.理解矩阵的概念;,2.了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、,反对称矩阵和共轭矩阵的定义以及它们的性质;,3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运,算规律;,4.了解方阵的幂.,称为,线性变换.,Definition.,由 个数,排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,简记为,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,主,对角线,副对角线,注意：,1.行矩阵:,列矩阵:,行矩阵与列矩阵也称为行向量与列向量.,方阵:,行数与列数都等于,n,的矩阵,A,，,称为,n,阶方,阵.,2.零矩阵:,元素全为0的矩阵称为,零矩阵.,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,3.上三角方阵:,主对角线以下元素全为0的矩阵,如,类似地可定义下三角方阵.,4.对角方阵:,除主,对角线上元素外,其余元素全为0的,矩阵,记为,不全为0,5.单位矩阵(方阵):,主对角线上元素全为1的对角阵,记为,全为1,6.矩阵,A,B,同型:,A,B,有相同的行数和列数.,例如,为,同型矩阵.,7.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称,矩阵 相等,记作,8.阶梯形矩阵(特点):,(1),A,中若有零行,则零,行以下的行全为零;,(2)非零行中首非零元,的位置在上一行的,首非零元的右边.,1.定义,设有两个 矩阵 那末矩阵,与 的和记作,，,规定为,注意：,(,1)矩阵加法即矩阵对应元素相加;,(,2)相加的矩阵必须是同型的.,2.运算性质,3.,负,矩阵,4.减法,1.定义,注意：,(,1)用数,k,乘矩阵即把矩阵的每个元素都乘上,k,;,2.运算性质,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的,线性运算.,（设 为 矩阵，为数）,1.定义,并把此乘积记作,设 是一个 矩阵，是一个,矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积,是一个 矩阵 ，其中,注意：,矩阵,A,与,B,的乘积,C,的第,i,行第,j,列的,元素等于第一个,矩阵,A,的第,i,行与第二个矩阵,B,的第,j,列的对应元素乘积,的和.,(,2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.否则没有意义.,(3)乘积矩阵的行数等于左边矩阵的行数,列数等于右边,矩阵的列数.,(4)矩阵运算没有除法.,Example1.,Example2.,Solution.,Example3.,计算,Example4.,Solution.,注意：,2.运算性质,（,其中 为数）;,3.特例,4.矩阵的乘方,注意：,Example5.,Solution.,Solution.,Example6.,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,1.定义,把矩阵,A,的行换成同序数的列得到的新矩阵，,叫做,A,的转置矩阵，记作,如：,2.运算性质,Example7.,已知,Method1.,Method2.,3.对称矩阵与反对称矩阵,说明,：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,注意：,任一个,n,阶矩阵都可表为一个对称阵与一个反对,称阵之和.,(,2)对称(反对称,),矩阵的和与数乘仍是对称(反对称),矩阵；但乘积不一定成立.,对角矩阵的和、数乘、乘法、乘方、转置仍为对角阵.,1.,定义,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭,复数，记，称为 的共轭矩阵,.,2.,运算性质,（,设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）,:,1.,分块矩阵的定义,对于行数和列数较高的矩阵,A,，,为了简化运算，,经常采用,分块法,，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,.,具体做法是：,将矩阵,A,用若干条纵线和横线分成,许多个小矩阵，每一个小矩阵称为,A,的,子块,，以子块,为元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,.,2.,分块矩阵的运算法则,(1),加减法,(,准对角矩阵,),准对角矩阵的和差仍为准对角矩阵,.,(2),数乘,(3),乘法,The end,Solution.,Solution.,(4),转置,注意要转置两次,.,
展开阅读全文