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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.4,基本不等式,:,基本不等式的几何背景,E,F,G,H,C,A,D,B,b,a,A,B,C,D,O,a,b,重要不等式：,一般地，对于,任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立。,如何证明,?,基本不等式：,当且仅当,a=b,时，等号成立。,基本不等式的几何解释,：,半径不小于半弦,A,B,E,D,C,a,b,深 入 探 究 揭 示 本 质,剖析公式应用,深 入 探 究 揭 示 本 质,算术平均数,几何平均数,两个正数的,算术平均数,不小于,它们的,几何平均数,.,基本不等式可以叙述为,:,注意,：（,1,）不等式使用的条件不同；,（,2,）当且仅当,a,=,b,时取等号；,均值不等式,例,1,、,(1),当,x,0,时，,，当且仅当,x,=,时取等号。,2,1,两个正数积为定值,P,，和有最小值 。,6,3,例题讲解,你还有其他的解法吗？,两个正数的和为定值，积有最大值。,利用二次函数求某一区间的最值,令,xy,=z,则,Z=,-x,2,+,18,x,，,公式变形：,1,、已知 则,x y,的,最大值是,，,此时,x=,y=,。,2,基础练习,最值定理：,若,x,、,y,皆为正数，则,（,1,）当,x+y,的值是常数,S,时，当且仅当,x,=,y,时，,xy,有最,大值,_,；,（,2,）当,xy,的值是常数,P,时，当且仅当,x,=,y,时，,x+y,有最,小值,_.,注意：各项皆为非负数；,和为定值或积为定值；,注意等号成立的条件,.,一“非负”,二“定值”,三“相等”,和定积最大，积定和最小,注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定,构造积为定值,解,：,x,1 ,x,1,0,x,（,x,1,）,1,已知,x,1,，求,x,的最小值以及取得,最小值时,x,的值。,当且仅当,x,1,时取“”号。,于是,x,2,或,x,0,（,舍去）,例,凑项法,即,x=,时,y,max,=,0,x,，,1-3x,0,y=x,（,1-3x,）,=,3x,（,1-3x,）,当且仅当,3x=1-3x,解：,构造和为定值,例,凑系数,小结评价,你会了吗？,1,、,本节主要学习了基本不等式的证明与初步应用。,巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗,2,、注意公式的正用、逆用、变形使用,。,3,、牢记公式特征,一,“,正,”,、二,“,定,”,、三,“,等,”,，,它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。,（,1,）,一非负,：各项均为正数。,（,2,）,二定值,：两个正数积为定值，和有最小值。,两个正数和为定值，积有最大值。,（,3,）,三相等,：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误。,小结：运用 时要注意下面三条：,1,、,求函数 的最小值,.,【,基础训练,3】,2,、求函数,f(x,)=x,2,(4-x,2,)(0 x2),的最大值是多少？,例,1,：,(1),用篱笆围成一个面积为,100m,2,的矩形菜园，,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。,最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为,x,m,，宽为,y,m,，,则,xy,=100,，篱笆的长为,2,（,x,+,y,）,m.,等号当且仅当,x=y,时成立，此时,x=y,=10.,因此，这个矩形的长、宽都为,10m,时，所用的篱笆最短最短的篱笆是,40m.,结论,1.,两个正数积为定值，则和有最小值,例,1,：,(2),用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面,积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为,x,m,，宽为,y,m,，,则,2(,x,+,y,)=36,x,+,y,=18,矩形菜园的面积为,xy,m,2,=18/2=9,得,xy,81,当且仅当,x,=,y,即,x,=,y,=9,时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为,9m,时，,菜园面积最大，最大面积是,81,m,2,结论,2.,两个正数和为定值，则积有最大值,例,1,：,(3),有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才智，用这,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面,积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为,x,m,，宽为,y,m,，,则,x,+2,y,=36,矩形菜园的面积为,S=,xy,m,2,当且仅当,x,=2,y,即,x,=18,，,y,=9,时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为,9m,时，,菜园面积最大，最大面积是,162,m,2,一,非负、,二,定值、,三相,等,几种利用基本不等式求最值的技巧,:,2.,凑系数,1.,凑项,3.,分离,4.“1”,的妙用,小结：,练习,练习,
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