从特殊三棱锥到一般三棱锥问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解三棱锥,三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.,三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根.注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱.,图形的认识，从特殊到一般：,（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.,（3）与直三角形对应的有直三棱锥.,（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.,（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.,1,解正四面体,正四面体化归为正方体求解.,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,由6条面对角线,A,1,D,、,BC,1,、,A,1,C,1,、,BD,、,A,1,B,、,DC,1,为棱的四面体即为,正四面体,A,1,-,BC,1,D,.,正四面体,A,1,-,BC,1,D,的棱长为1的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,棱长的,倍；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径 .,2,“正直”三棱锥,我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”.它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.,立式图中，1个侧面置于水平位置.可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线.,3,解正直三棱锥,化为正方体求解,一、线线关系：,（1）相交垂直：,AD,DD,1,（2）相交45：,AD,与,AD,1,（3）相交60：,AD,1,与,AC,（4）异面垂直,AC,与,DD,1,距离为 /2,二、线面关系,（1）垂直：,AD,与,DCD,1,（2）交成45：,AD,与,ACD,1,三、面面关系,（1）垂直：三侧面两两之间,（2）交成arctan ：如平面,ACD,1,与平面,ACD,4,正直三棱锥的高线,【题目】,若正直三棱锥,V,-,ABC,的侧棱长为,VA,=1.求它高线VH的长度.,设斜高在,ABC,上的射影为,H,，则,H,为,ABC,的中心.,【解1】,（斜高法）,正直三棱锥,V,-,ABC,中，易知,AB,=,BC,=,CA,=,斜高,VD,=/2,故有 高线,【说明】,正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的1/3.,5,【题目】,若正直三棱锥,V,-,ABC,的侧棱长为,VA,=1.求它高线VH的长度.,【解2】,（等积法）立式图中，,易知正直三棱锥的体积为,【证明】,等积法常用来“求点到平面的距离”.,又,故,得,6,正直三棱锥的外接球,【题目】,正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.,正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径 .,一般探讨为,【解答】,易知正直三棱锥的“外心”,O,在高线,VH,的延长线上.,设,VO,=,CO,=,x,，则,HO,=,又,由,OC,2,=,HO,2,+,HC,2,得,解得,7,考题展示,【考题】,（2006年川卷第13题）,【分析】,已知的三棱锥为正直三棱锥.,【解1】,立式图如右，,OM,在,ABC,上射影为,MC,，,OM,与,ABC,的成角为,OMC,.,【说明】,线面角（,OM,与,ABC,成角）化为线线角（,OM,与,MC,）亦即面面角（,C,-,AB,-,O,）.,在三棱锥,O,-,ABC,，三条棱,OA,、,OB,、,OC,两两垂直且相等.,M,为,AB,的中点.则,OM,与平面,ABC,的成角的大小为 .,设,OC,=,a,，则,OM=,故,OMC,=arctan （答案）,8,【考题】,（2006年川卷第13题）,【分析】,已知的三棱锥为正直三棱锥.,【解2】,卧式图如右，,H,为底面正三角形,ABC,的中心.,【说明】,本法容易误入迁解.如先求,OH,和,MH,的长度.,在三棱锥,O,-,ABC,，三条棱,OA,、,OB,、,OC,两两垂直且相等.,M,为,AB,的中点.则,OM,与平面,ABC,的成角的大小为 .,得,OMC,=arctan （答案）,OM,与,ABC,的成角为,OMC,.,9,正方体内接三棱锥的个数,【问题】,以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥.求正方体内接三棱锥的个数.,其中，共面的4点的个数是,（1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面.,故正方体的内接三棱锥有 70 12=58（个）,【答案】,从8个顶点中任取4个的组合数为,【说明】,这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.,10,“长棱”三棱锥,正方体内接三棱锥可分四类.除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类.,（1）斜三棱锥(图左).（2）底面为直三角形的直三棱锥(图右).,它们各有1条长度为 的“长棱”，其外心在长棱的中点上.,11,直正三棱锥,底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.,确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长,a,和直棱长,b,.,“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.,直正三棱锥的四个面中：,（1）底面是正三角形；,（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；,（3）另一个侧面为等腰三角形；,12,解直正三角形,（1）求三棱锥,P,-,ABC,的体积；,【题目】,三棱锥,P,-,ABC,中，,PA,面,ABC,，且,PA,=，,又,AB,=,BC,=,CA,=1.,（2）求,A,到平面,PBC,的距离.,【解答】,（1）,P,-,ABC,的体积,（2）设,A,到平面,PBC,的距离为,h.,易得三角形,PBC,的面积为,由等积原理：,（答案）,13,【题目】,三棱锥,P,ABC,中，,PA,面,ABC,，且,PA,=，,又,AB,=,BC,=,CA,=1.,【证明】,易知,BO,AC,，又,BO,PA,由（1），（2）知,PC,平面,BOH.,【说明】,由此可知,BHO,为二面角,B,PC,A,的平面角.,（3）,O,为,AC,的中点，,OH,PC,于,H,.,求证：,PC,平面,BOH,.,所以,BO,面,PAC BO,PC,（1）,又,OH,PC,（2）,14,正三棱锥,侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥.确定一个正三棱锥需2个条件.即侧棱长,b,和底棱长,a.,正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一条高线，如,CD,于水平线上.,锥顶,V,在底面上的射影为底面正三角形的中心,H,.,截面三角形,VCD,为锥体的轴截面：,（1）侧棱与底面的所成角为,VCD,.,（2）侧面与底面所成二面角的平面角为,VDC,.,（3）截面三角形的高线,VH,就是锥体的高.,15,正三棱锥的判断,【考题】（2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】,由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定,H,为底面三角形的中心.,由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）.,命题为真命题.它成为正三棱锥“判定定理”之一.,16,正三棱锥的判断,【考题】,（2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.,【判定】,侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边.,如图右所示，可设,VC,=,BC,=,AC,，并让点,V,在直线,VD,上移动，可使,VAB,也为等腰三角形.,故命题是个假命题.,17,正三棱锥的判断,【考题】,（2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】,侧面的面积都相等，只须顶点,V,到三底边的距离相等.,到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心.,到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距.,故命题是假命题.,18,正三棱锥的判断,【考题】,（2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题：,侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】,由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三条侧棱相等.,由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥.,命题为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一.,19,【证明（,）,】,ACB,=90，,BC,AC,.,PA,底面,ABCD,，,PA,BC,BC,平面,PAC,.,（,）求证:,BC,平面,PAC,；,直三棱锥到直四棱锥,像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解.,【题目】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1，,BAD,=120，,PA,=,ACB,=90.,20,【题目】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1，,BAD,=120，,PA,=,ACB,=90.,【证明（,）,】,易知,ADC,=60,（）求二面角,DPCA,的大小；,又,AD=CD=,1，,ADC,为等边三角形，且,AC,=1.,取,AC,的中点,O,，则,DO,AC,，,PA,底面,ABCD,，,PA,DO,，,DO,平面,PAC.,过,O,作,OH,PC,，垂足为,H,，连,DH,，由三垂线定理知,DH,PC.,DHO,为二面角,DPCA,的平面角.由,二面角,DPCA,的大小为arctan2.,21,【题目】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1，,BAD,=120，,PA,=,ACB,=90.,（）求点,B,到平面,PCD,的距离.,【证明（,）,】,设点,B,到平面,PCD,的距离为,d,.,AB,CD,，,AB,平面,PCD,，,CD,平面,PCD,AB,平面,PCD,.,点,B,到平面,PCD,的距离等于点,A,到平面,PCD,的距离.,【说明】,就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离.,22,三棱锥的外心,任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样.,三角形的外心到三个顶点等距，这个距离就是三角形的外半径.,三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距离就是三棱锥的外半径.,外心的“心、顶等距”性质，是我们寻找外心的依据.,三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心.,23,外心位置的确定,等腰三角形的外心在底边的高线上；,正三角形的外心为其中心；,直三角形的外心在斜边的中点上.,类比可以推出，一些特殊三棱锥的外心位置：,（1）正三棱锥的外心在底面的高线上.,（2）正四面体的外心为其中心.,（3）“长棱”三棱锥的外心在“长棱”的中点上.,24,（1）试确定三棱锥外心位置.,（2）求外半径的长度.,【解答】,（1）,VA,AB,，取,VB,的中点,O,，,【题目】,三棱锥,V,ABC,中，底面,ABC,是边长为1的正三角形.且,VA,=,VC,=，且,VA,AB,.,显然有,OV,=,OA,=,OB,又,VAB,与,VCB,全等.,故,VC,CB,，即,O,为Rt,VCB,斜边的中点.,故,O,为三棱锥,V ABC,的外心.,（2）三棱锥的外半径长为,VB,长度的一半，故外半径长,25,在“长棱”上猜外心,我们见到三棱锥常为特殊的三棱锥.在对三棱锥的外心进行猜想时：,（1）先找“长棱”的中点；,（2）再找“长棱”的中垂线；,（3）后找“长棱”的中垂面.,上题中的三棱锥,V,ABC,，实为正方体的内接斜式“长棱”三棱锥（右下），外心在体对角线,BD,1,的中点上，外半径为体对角线长度 的一半.,26,