电动力学预备知识课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,引 言,Introduction,电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。,电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立,Maxwells equations,。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。,学习电动力学课程的主要目标：,1,）掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；,2,）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；,3,）通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。,以电动力学为基础的应用领域：,在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。,例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、,X,射线和,射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。,学习参考书：,1,、电动力学 郭硕鸿 编著,2,、电动力学 汪德新 编著 科学出版社,3,、电动力学 吴寿煌 丁士章 编,西安交通大学出版社,4,、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著,复旦大学出版社,预备知识,Preliminary nowledge,主要内容：,一、矢量代数,二、矢量分析基础,（梯度、散度、旋度）,三、几个重要定理及公式,一、矢量代数,1.,矢量的加、减,:,矢量的加、减，满足平行四边形法则。,以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和,(,差,),的分量等于这两个矢量对应分量的和,(,差,),。,设,，,，,则,本书中直角坐标的三个单位矢量分别用,x,y,z,表示，通用方法是,再加上表示坐标轴名称的角标。,2.,矢量的乘法,:,（,1,）两个矢量的点乘,两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。,设,，,，,则,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。,一、矢量代数,（,2,）两个矢量的叉乘,两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。,a,b,a,b,一、矢量代数,则,设,，,，,由以上计算公式可以得到：,一、矢量代数,3.,三个矢量的乘积,:,（,1,）三个矢量的混合积,三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。,，,则,三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。,注意,:,设,，,，,一、矢量代数,利用行列式的性质，可以证明以下结论：,（混合积）,（,2,）三个矢量的叉乘,，必定处于,a,和,垂直于矢量,b,所决定的平面内,，,可以用,a,和,b,的线性组合来表示。,a,c,b,a,b,一、矢量代数,一、矢量代数,计算公式为：,（三个矢量的叉乘）,注意：,即：,三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。,“远交近攻”,形象地记做：,在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。,二、矢量分析基础,场的概念：,（梯度、散度和旋度的概念）,撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函数，则这个量叫做场。,如果某个物理量是标量，空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。,如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。,若场中各点处的物理量与时间无关，就称为恒定场。,若物理量与坐标无关，就称为均匀场。,二、矢量分析基础,（,1,）方向导数,方向导数是标量函数,变化率，它的数值与所取,在一点处沿某方向,的方向有关。在不同的方向上,的值是不同的。,1.,标量场的梯度,:,(Gradient of Scalar Field),的空间,由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的,（,2,）梯度,方向导数有无穷多个。,二、矢量分析基础,设等势面的法线方向为,，由几何关系可知，电势沿等势,面的法线方向的方向导数最大，等于,。由此引入梯度,的概念。记作：,注意：,梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指,向标量增,p,p,1,p,2,等值面 等值面,加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。,二、矢量分析基础,增加的方向。,它指向,（,3,）任意方向的方向导数与梯度的关系：,是等值面,上,p,点法线方向单位矢量。,表示过,p,2,点的任一方向。,显见，当,时，,所以,p,p,1,p,2,等值面 等值面,二、矢量分析基础,该式表明：,由此不难得到：,这是标量场微分的计算公式。,即：,方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。,（,4,）在直角坐标系中梯度的计算公式：,二、矢量分析基础,2.,矢量场的散度,:,（,Divergence of Vector Field,）,设闭合面,S,所包围的体积为,表示平均单位体积内所发出的场线的条数。,只包围一点时，上式的极限称为矢量场,f,在该点的散度。,，则,而,可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。,（,1,）概念：,当,二、矢量分析基础,（,2,）在直角坐标系中散度的计算公式：,（,3,）积分变换式,高斯定理,（,Gausss Theorem,）,它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。,二、矢量分析基础,3.,矢量场的旋度,:,设闭合曲线,L,所围面积为,，则矢量场,f,沿有向闭合曲线,（,1,）概念：,（,Rotation of Vector Field,）,L,的环流为,，设想将闭合曲线缩小到空间某一点,附近，那么以闭合曲线,L,为界的面积,逐渐缩小，,也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作,二、矢量分析基础,即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，,为矢量场,f,的旋度。且规定,矢量场的旋度是矢量，其方向与,d,l,的环绕,方,向构成右手螺旋关系。,的方向与,d,l,的环绕方,向构成右手螺旋关系。,为此定义,所以：,二、矢量分析基础,（,2,）在直角坐标系中旋度的计算公式：,（,3,）积分变换式,斯托克斯定理,（,Stokes Theorem,）,它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,二、矢量分析基础,4.,算符,:,在直角坐标系中，,算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。,所以，有,同样，,二、矢量分析基础,1.,定理,:,三、定理及公式,（,1,）标量场的梯度必为无旋场,（,2,）矢量场的旋度必为无散场,（梯度的旋度恒等于,0,）,（旋度的散度恒等于,0,）,，则必存在一个矢量场,A,，,（,4,）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：,成立。,（,3,）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：,，则必存在一个标量场,使,成立。,如果,如果,使,三、定理及公式,2.,公式,:,（附录,P.343,）,（,1,）先根据,算符的微分特性，依次将,它作用到每一个场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。,三、定理及公式,（,2,）将各项中的,算符,作用到所选定的场量上，将其余场量移到算符的作用范围之外，同时根据算符的矢量特性，检查每一项的矢量性。,（,3,）将算符的角标去掉。,三、定理及公式,再如：,三、定理及公式,三、定理及公式,注意：结果应是矢量，且每一项的方向均与,f,和,g,有关。,若简单地将算符作用于,f,或,g,上，得到的表达式,只与,f,或,g,有关，是错误的。,利用公式：,得：,三、定理及公式,三、定理及公式,（,1,）算符在方向关系上是一个矢量，在运算,（,2,）电动力学中会遇到,的运算，要注意区别。,过程中是一个微分算符。所以与普通矢量,注意：,不同，其位置不能随便写。,梯度、散度、旋度等于,0,各有含义是什么？,思考：,三、定理及公式,